数学 第20章
三平方の定理
問題編
【未履修・先取り／完成／最低35問】三平方と空間への応用（先取り）。
解く前に：この章の覚え方・戦い方
別冊を開かなくてよい。ここで対応表を指差し確認してから問題に入る。解けたあとも誤答はこの一覧に戻す。
覚え方三平方の比（どの数が斜辺か）
比を覚えるときは「一番大きい数が斜辺 c」。当てはめる前に図で最長辺を指差し確認する。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
① 導入
三平方の定理は直角三角形の辺の関係です。斜辺を確認し、平面・座標・空間へ応用します（中3先取り）。
途中式と符号・単位を残しながら解きましょう。答えだけ書いて終わりにしないでください。
② 基本概念
- a²+b²=c²（cは斜辺＝直角の向かい）。直角三角形だけで使う
- 定理の逆：最長辺を c とし a²+b²=c² なら直角
- 特別な比 3:4:5、5:12:13、1:1:√2、1:√3:2 を先に疑う
- 空間対角線は「底面の対角線→それと高さ」の二段
- 座標の距離は √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²)。三平方そのもの
③ 図解
直角印を探し、その向かい側で最も長い辺を斜辺としてcと書きます。残りの二辺をa,bにしてa²+b²=c²へ対応させ、二乗して計算します。
30°・60°・90°の向かい側を順に見て、辺の比1:√3:2を対応させます。最大の2が必ず斜辺なので、図の向きに惑わされず直角の向かいを確認します。
まず底面にある直角三角形の二辺と対角線を読み、三平方の定理で底面対角線を出します。次にその線と高さで作る直角三角形を使って空間対角線を求めます。
④ 例題
直角をはさむ二辺が3cm,4cmのとき斜辺は？
斜辺13、他辺5のとき残りの辺は？
辺6,8,10は直角三角形か（結論を短く）。
一辺6の正方形の対角線は？
⑤ 基本問題
直角をはさむ6と8の斜辺
直角をはさむ9と12の斜辺
斜辺10、他辺6の残り
斜辺25、他辺7の残り
一辺5の正方形の対角線
辺5,12,?（斜辺）
辺5,12,13は直角か（「直角である/でない」）
辺2,3,4は直角か
座標A(0,0),B(6,8)の距離
直方体3×4×12の空間対角線
直角二等辺で等辺が？ 斜辺5√2の等辺
30-60-90で30°の向かいが4のとき斜辺
同上で60°の向かい
直角をはさむ2と3の斜辺
3:4:5の3倍で斜辺
図のはしご問題：壁までの距離5、はしごの高さ12のとき斜辺は？
図の直方体の空間対角線（3,4,12）は？
⑥ 標準問題
A(-1,2),B(5,10)の距離
底辺5・高さ12のはしごの長さ
一辺6の正方形の対角線
辺8,15,17は直角か（である/でない）
3:4:5の4倍の斜辺
斜辺15、他辺12の残り
縦3横4高12の空間対角線
30-60-90で斜辺10のとき60°の向かい
直角をはさむ2,3の斜辺
⑦ 応用・入試形式
直角三角形・空間・座標を (1)→(2)→(3) でつなぐ大問です。途中の長さを次で使います。
直方体の縦・横・高さがそれぞれ 3 cm、4 cm、12 cm である。 (1) 底面（3×4）の対角線の長さを求めよ。 (2) 空間対角線の長さを求めよ。 (3) 底面の対角線と高さでできる直角三角形の面積を求めよ。
答え（1）底面対角線 cm：
答え（2）空間対角線 cm：
答え（3）面積 cm²：
座標平面上に点 A(−1, 2)、B(5, 10)、C(5, 2) がある。 (1) 線分 AB の長さを求めよ。 (2) 線分 AC、BC の長さを求めよ（カンマ区切り、AC,BC）。 (3) △ABC は直角三角形か。直角ならば直角の頂点を答え、そうでなければ「直角でない」と答えよ。
答え（1）AB：
答え（2）AC,BC：
答え（3）：
壁に立てかけたはしごがある。壁からの距離が 5 m、はしごの長さが 13 m のとき、 (1) はしごの上端の高さを求めよ。 (2) はしごを壁から 1 m 遠ざけて地面との距離を 6 m にした。新しい高さ（√を含む形で可）を求めよ。 (3) (1)と(2)の高さの差を求めよ（√を簡単にした形でよい）。
答え（1）高さ m：
答え（2）新しい高さ：
答え（3）差：
一辺 6 cm の正方形 ABCD がある。 (1) 対角線 AC の長さを求めよ。 (2) 対角線の交点を M とする。AM の長さを求めよ。 (3) △ABM の面積を求めよ。
答え（1）AC：
答え（2）AM：
答え（3）面積：
【総合・三平方】(1)〜(3)
(1) 3-4-? の斜辺 を求めなさい。
(2) その直角三角形の面積 を求めなさい。
(3) 直角の位置を先に確認する理由を40字で述べなさい。
模範：
⑧ 確認テスト
制限時間の目安: 15分。
3-4-?
5-?-13
6-8-10は直角か（直角である／直角でない）
正方形一辺6の対角線
直方体3-4-12の空間対角線
(0,0)と(6,8)の距離
30°の向かいが4のときの斜辺
三平方の逆：最長辺をcとして何を調べるか（a²+b²=?）
30-60-90、斜辺10の60°の向かい