数学 第20章
三平方の定理
解説編
【未履修・先取り／完成／最低35問】三平方と空間への応用（先取り）。
図解で確認（メイン）
まず図を確認し、下の解説で各問の手順と根拠をたどってください。図が3枚あります。
直角印を探し、その向かい側で最も長い辺を斜辺としてcと書きます。残りの二辺をa,bにしてa²+b²=c²へ対応させ、二乗して計算します。
30°・60°・90°の向かい側を順に見て、辺の比1:√3:2を対応させます。最大の2が必ず斜辺なので、図の向きに惑わされず直角の向かいを確認します。
まず底面にある直角三角形の二辺と対角線を読み、三平方の定理で底面対角線を出します。次にその線と高さで作る直角三角形を使って空間対角線を求めます。
答え合わせで確認：語呂・必暗・手順
正解／不正解のあと、知識不足なら下の対応表・必暗をその場で再生する。手順ミスなら戦い方を見直す。
覚え方三平方の比（どの数が斜辺か）
比を覚えるときは「一番大きい数が斜辺 c」。当てはめる前に図で最長辺を指差し確認する。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
図で確認
直角印を探し、その向かい側で最も長い辺を斜辺としてcと書きます。残りの二辺をa,bにしてa²+b²=c²へ対応させ、二乗して計算します。
30°・60°・90°の向かい側を順に見て、辺の比1:√3:2を対応させます。最大の2が必ず斜辺なので、図の向きに惑わされず直角の向かいを確認します。
まず底面にある直角三角形の二辺と対角線を読み、三平方の定理で底面対角線を出します。次にその線と高さで作る直角三角形を使って空間対角線を求めます。
① 導入
この解説は、問題を解いたあと、または途中で止まったときに読んでください。直角の位置と斜辺を先に確認してから式を立てます。
② 基本概念
- 直角三角形だけで使います。斜辺は直角の向かい側の最長辺です。
- 二乗してから加減し、ルートは最後に取ります。
- 空間は底面対角線→空間対角線の二段が安全です。
- 逆（a²+b²=c²）で直角判定、座標の距離も三平方です。
③ 図の確認
斜辺は直角の向かい側です。図の向きだけで決めないでください。
④ 例題 解説
例1
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 5 です。
途中式を残すと、直角をはさむ二辺 a,b と斜辺 c で a²+b²=c² です。 ＝ 5 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 5 と矛盾しないことを確認します。
答え：5
例2
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 12 です。
途中式を残すと、13² − 5² = 169 − 25 = 144 = 12² より、残りは 12 です。 ＝ 12 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 12 と矛盾しないことを確認します。
答え：12
例3
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 直角三角形である です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 直角三角形である になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 直角三角形である と矛盾しないことを確認します。
答え：直角三角形である
例4
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 6√2 です。
与えられた式・条件は 6√2 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 6√2 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 6√2 と矛盾しないことを確認します。
答え：6√2
⑤ 基本問題 解説
1
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 10 です。
与えられた式・条件は 10 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 10 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 10 と矛盾しないことを確認します。
答え：10
2
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 15 です。
途中式を残すと、9²+12² = 81+144 = 225 = 15² より、斜辺は 15 です。 ＝ 15 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 15 と矛盾しないことを確認します。
答え：15
3
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 8 です。
途中式を残すと、10² − 6² = 100 − 36 = 64 = 8² より、残りは 8 です。 ＝ 8 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 8 と矛盾しないことを確認します。
答え：8
4
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 24 です。
与えられた式・条件は 24 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 24 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 24 と矛盾しないことを確認します。
答え：24
5
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 5√2 です。
与えられた式・条件は 5√2 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 5√2 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 5√2 と矛盾しないことを確認します。
答え：5√2
6
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 13 です。
途中式を残すと、5²+12² = 25+144 = 169 = 13² より、斜辺は 13 です。 ＝ 13 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 13 と矛盾しないことを確認します。
答え：13
7
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 直角である です。
途中式を残すと、最長辺 13 を斜辺候補として、5²+12² = 25+144 = 169 = 13² です。 ＝ 直角である となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 直角である と矛盾しないことを確認します。
答え：直角である
8
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 直角でない です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 直角でない になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 直角でない と矛盾しないことを確認します。
答え：直角でない
9
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 10 です。
途中式を残すと、距離は √((6−0)²+(8−0)²) = √(36+64) = √100 = 10 です。 ＝ 10 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 10 と矛盾しないことを確認します。
答え：10
10
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 13 です。
与えられた式・条件は 13 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 13 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 13 と矛盾しないことを確認します。
答え：13
11
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 5 です。
途中式を残すと、直角二等辺三角形で斜辺が 5√2 のとき、等辺を a とすると a√2 = 5√2 より a = 5 です。 ＝ 5 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 5 と矛盾しないことを確認します。
答え：5
12
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 8 です。
途中式を残すと、30°-60°-90° では、30° の向かい:斜辺 = 1:2 です。 ＝ 8 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 8 と矛盾しないことを確認します。
答え：8
13
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 4√3 です。
与えられた式・条件は 4√3 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 4√3 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4√3 と矛盾しないことを確認します。
答え：4√3
14
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は √13 です。
与えられた式・条件は √13 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは √13 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え √13 と矛盾しないことを確認します。
答え：√13
15
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 15 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 15 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 15 と矛盾しないことを確認します。
答え：15
16
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 13 です。
与えられた式・条件は 13 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 13 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 13 と矛盾しないことを確認します。
答え：13
17
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 13 です。
与えられた式・条件は 13 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 13 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 13 と矛盾しないことを確認します。
答え：13
⑥ 標準問題 解説
18
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 10 です。
途中式を残すと、距離は √((5−(−1))²+(10−2)²) = √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10 です。 ＝ 10 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 10 と矛盾しないことを確認します。
答え：10
19
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 13 です。
与えられた式・条件は 13 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 13 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 13 と矛盾しないことを確認します。
答え：13
20
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 6√2 です。
与えられた式・条件は 6√2 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 6√2 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 6√2 と矛盾しないことを確認します。
答え：6√2
21
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 直角である です。
途中式を残すと、最長辺 17 を斜辺候補として、8²+15² = 64+225 = 289 = 17² です。 ＝ 直角である となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 直角である と矛盾しないことを確認します。
答え：直角である
22
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 20 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 20 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 20 と矛盾しないことを確認します。
答え：20
23
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 9 です。
途中式を残すと、15² − 12² = 225 − 144 = 81 = 9² より、残りは 9 です。 ＝ 9 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 9 と矛盾しないことを確認します。
答え：9
24
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 13 です。
途中式を残すと、√(3²+4²+12²) = √169 = 13 です。 ＝ 13 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 13 と矛盾しないことを確認します。
答え：13
25
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 5√3 です。
与えられた式・条件は 5√3 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 5√3 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 5√3 と矛盾しないことを確認します。
答え：5√3
26
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は √13 です。
与えられた式・条件は √13 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは √13 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え √13 と矛盾しないことを確認します。
答え：√13
⑦ 応用・入試形式 解説
27 直方体の二段
直方体 3 cm、4 cm、12 cm です。
（1）底面の対角線は √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5 です。
（2）空間対角線は √(5²+12²) = √(25+144) = √169 = 13 です（√(3²+4²+12²) でも同じです）。
（3）底面の対角線 5 と高さ 12 でできる直角三角形の面積は (1/2)×5×12 = 30 です。
答え：（1）5 （2）13 （3）30
28 座標と直角
点 A(−1, 2)、B(5, 10)、C(5, 2) です。
（1）AB = √((5−(−1))²+(10−2)²) = √(36+64) = √100 = 10 です。
（2）AC = |5−(−1)| = 6、BC = |10−2| = 8 です。
（3）6²+8² = 36+64 = 100 = 10² なので直角三角形です。
直角の頂点は C です。
答え：（1）10 （2）6,8 （3）直角,C
29 はしご
壁からの距離 5 m、はしご 13 m です。
（1）高さは √(13²−5²) = √(169−25) = √144 = 12 m です。
（2）地面との距離を 6 m にすると、高さは √(13²−6²) = √(169−36) = √133 m です。
（3）差は 12 − √133 です。
答え：（1）12 （2）√133 （3）12-√133
30 正方形と対角線
一辺 6 cm の正方形です。
（1）対角線 AC = √(6²+6²) = √72 = 6√2 です。
（2）対角線の交点 M は中点なので、AM = (6√2)/2 = 3√2 です。
（3）△ABM は直角二等辺で等辺 3√2、または底辺 6・高さ 3 より面積 (1/2)×6×3 = 9 です。
答え：（1）6√2 （2）3√2 （3）9
40
(1) の結論は 5 です。
答え：5
41
(2) の結論は 6 です。
答え：6
42
(3) の説明です。
答え：斜辺を取り違えると式が壊れ長さも面積も誤るから。
⑧ 確認テスト 解説
31
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 5 です。
途中式を残すと、3²+4² = 9+16 = 25 = 5² より、斜辺は 5 です。 ＝ 5 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 5 と矛盾しないことを確認します。
答え：5
32
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 12 です。
与えられた式・条件は 12 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 12 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 12 と矛盾しないことを確認します。
答え：12
33
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 直角である です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 直角である になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 直角である と矛盾しないことを確認します。
答え：直角である
34
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 6√2 です。
途中式を残すと、√(6²+6²) = √72 = 6√2 です。 ＝ 6√2 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 6√2 と矛盾しないことを確認します。
答え：6√2
35
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 13 です。
途中式を残すと、√(3²+4²+12²) = √169 = 13 です。 ＝ 13 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 13 と矛盾しないことを確認します。
答え：13
36
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 10 です。
途中式を残すと、√(6²+8²) = √100 = 10 です。 ＝ 10 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 10 と矛盾しないことを確認します。
答え：10
37
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 8 です。
途中式を残すと、30°-60°-90° で 30° の向かいが 4 のとき、斜辺は 8 です。 ＝ 8 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 8 と矛盾しないことを確認します。
答え：8
38
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は c² です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して c² を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え c² と矛盾しないことを確認します。
答え：c²
39
三平方の定理で辺を求め、面積は底辺×高さ。この問で求める値は 5√3 です。
途中式を残すと、30°-60°-90° で斜辺 10 のとき、60° の向かい側は 5√3 です。 ＝ 5√3 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 5√3 と矛盾しないことを確認します。
答え：5√3
⑨ 振り返り
間違えた問題は、どの条件で止まったかを確認し、同じ型をもう一度解いてください。