数学 第18章
相似
問題編
【未履修・先取り／完成／最低35問】相似条件・比・証明（先取り）。
解く前に：この章の覚え方・戦い方
別冊を開かなくてよい。ここで対応表を指差し確認してから問題に入る。解けたあとも誤答はこの一覧に戻す。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方最初の一手
止まったら分野名より「図・表・式のどれに書き直すか」を決める。
- 図形証明仮定と結論に下線、等しい角に印
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
① 導入
相似は形が同じで大きさが違う図形の関係です。対応・比・平行線・面積比を積み上げます（中3先取り）。
途中式と符号・単位を残しながら解きましょう。答えだけ書いて終わりにしないでください。
② 基本概念
- 相似：対応角が等しく、対応辺の比がすべて等しい（∽の頂点順＝対応）
- 相似条件：AA／2辺とその夾角／3辺。まず角（AA）を探す
- 相似比 m:n → 長さはそのまま、面積比 m²:n²、体積比 m³:n³
- 平行線 → 同位角・錯角 → 相似。線分比は相似比と同じ
- 中点連結定理：2辺の中点を結ぶと第三辺に平行で半分
③ 図解
等しい角へ同じ印を付けて頂点の対応を決め、∽の左右を同じ順序で読みます。図の向きが反転していても、対応辺だけを結んで比を作ります。
図の角印と辺の比を確認し、二角相等・二辺とその間の角・三辺比のどれかを選びます。条件を満たす組を根拠とともに順番に読み上げます。
対応する縦と横が同じ倍率になる図を読み、相似比を二乗して面積比にします。長さの比をそのまま使わず、小さい図形と大きい図形の順を固定します。
④ 例題
相似な図形で必ず等しいものはどれか。
相似比が 2:3 のとき、面積比を求めなさい。
相似比 1:2、小さい方の対応辺が 5cm のとき、大きい方は何cmか。
△ABC∽△DEF で AB:DE=3:5、AB=6cm のとき DE は何cmか。
⑤ 基本問題
△ABCと△DEFで∠A=∠D,∠B=∠Eのとき正しいものは？
相似比3:5、大きい方の周40cmのとき小さい方の周は？
面積比9:25の相似比は？
合同な図形の相似比は？
相似比2:5、小の面積8cm²のとき大の面積は？
立体の相似比1:2の体積比は？
相似比4:6を最も簡単な整数比にせよ。
相似比AB:DE=4:6のとき対応する高さの比は？
体積比8:27の相似比は？
相似比1:3、大の辺12cmのとき小の辺は？
面積比4:9の相似比は？
相似比5:7の面積比は？
対応角が等しく対応辺の比がすべて等しい図形の関係は？
相似比m:nの面積比を文字で答えよ。
DE∥BC、AD=3,DB=6のときAD:ABは？
図でDE∥BC、AD=4,DB=4,AE=8のときECを求めよ。
図でD,Eは中点。中点連結定理の内容を述べなさい。
模範：
⑥ 標準問題
相似比2:5、△ABC面積24。△DEFの面積は？
相似比3:4の周の比は？
面積16と36の相似な図形の相似比は？
立体相似比2:3の表面積比は？
DE∥BC、AD:DB=2:3。△ADE:△ABCの面積比は？
2組の角が等しいことを示す相似条件の略称は？
相似比1:2の直方体、小の体積10のとき大の体積は？
対応A→D,B→E,C→FのときABに対応する辺は？
図でDE∥BC、AD:DB=2:3、△ADE=8。四角形DBCEの面積は？
⑦ 応用・入試形式
相似比→長さ→面積比の連鎖です。1つの図・条件から (1)(2)(3) と積み上げます。
△ABC で、辺 AB、AC 上にそれぞれ点 D、E をとり、DE ∥ BC とする。 AD:DB = 2:3、AD = 4 cm、DE = 6 cm のとき、 (1) AB の長さを求めよ。 (2) BC の長さを求めよ。 (3) △ADE と △ABC の面積比を求めよ。
答え（1）AB cm：
答え（2）BC cm：
答え（3）面積比 ADE:ABC：
台形 ABCD で AD ∥ BC、AD = 6 cm、BC = 10 cm とする。対角線の交点を P とする。 (1) AP:PC を求めよ。 (2) △APD と △CPB の面積比を求めよ。 (3) AP = 3 cm のとき、対角線 AC の長さを求めよ。
答え（1）AP:PC：
答え（2）面積比：
答え（3）AC cm：
地面に垂直な棒の長さが 1.5 m、その影の長さが 2 m のとき、同じ時刻の塔の影が 12 m だった。 (1) 塔の高さを求めよ。 (2) 影の先端から塔の先端までの距離を求めよ。 (3) 塔と棒の相似比（塔:棒）を求めよ。
答え（1）高さ m：
答え（2）距離 m：
答え（3）相似比：
直線 AB と CD が平行で、AC と BD が点 P で交わる。AB = 6 cm、CD = 9 cm、AP = 4 cm のとき、 (1) PC の長さを求めよ。 (2) △APB と △CPD の面積比を求めよ。 (3) AC の長さを求めよ。
答え（1）PC cm：
答え（2）面積比 APB:CPD：
答え（3）AC cm：
【総合・相似】(1)〜(3)
(1) 相似比2:3の面積比 を求めなさい。
(2) 体積比 を求めなさい。
(3) 長さと面積で比の乗を変える理由を40字で述べなさい。
模範：
⑧ 確認テスト
制限時間の目安: 15分。
相似比5:7の面積比
2角相等の相似条件の略称
相似比1:3、大の辺12の小の辺
体積比8:27の相似比
面積比16:36の相似比
相似比2:5、小の周10の大の周
合同の相似比
DE∥BCのとき△ADE∽△ABCを示す要点（条件名）
相似比3:5、△ABC面積36のとき相似な△DEFの面積