数学 第18章
相似
解説編
【未履修・先取り／完成／最低35問】相似条件・比・証明（先取り）。
図解で確認（メイン）
まず図を確認し、下の解説で各問の手順と根拠をたどってください。図が3枚あります。
等しい角へ同じ印を付けて頂点の対応を決め、∽の左右を同じ順序で読みます。図の向きが反転していても、対応辺だけを結んで比を作ります。
図の角印と辺の比を確認し、二角相等・二辺とその間の角・三辺比のどれかを選びます。条件を満たす組を根拠とともに順番に読み上げます。
対応する縦と横が同じ倍率になる図を読み、相似比を二乗して面積比にします。長さの比をそのまま使わず、小さい図形と大きい図形の順を固定します。
答え合わせで確認：語呂・必暗・手順
正解／不正解のあと、知識不足なら下の対応表・必暗をその場で再生する。手順ミスなら戦い方を見直す。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方最初の一手
止まったら分野名より「図・表・式のどれに書き直すか」を決める。
- 図形証明仮定と結論に下線、等しい角に印
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
図で確認
等しい角へ同じ印を付けて頂点の対応を決め、∽の左右を同じ順序で読みます。図の向きが反転していても、対応辺だけを結んで比を作ります。
図の角印と辺の比を確認し、二角相等・二辺とその間の角・三辺比のどれかを選びます。条件を満たす組を根拠とともに順番に読み上げます。
対応する縦と横が同じ倍率になる図を読み、相似比を二乗して面積比にします。長さの比をそのまま使わず、小さい図形と大きい図形の順を固定します。
① 導入
この解説は、問題を解いたあと、または途中で止まったときに読んでください。対応と比を先に固定してから長さ・面積へ進みます。
② 基本概念
- 対応は ∽ の頂点順で固定します。図の向きだけで決めません。
- 相似条件は AA を優先し、平行線では同位角・錯角を使います。
- 長さは相似比、面積は2乗、体積は3乗です。
- 入試大問は「比→長さ→面積」の連鎖が多いです。途中の比を残します。
③ 図の確認
∽の頂点順が対応です。平行線がある図では、どの角が等しいかを図に書き込みます。
④ 例題 解説
例1
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は a（対応する角） です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは a（対応する角） になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え a（対応する角） と矛盾しないことを確認します。
答え：a（対応する角）
例2
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 4:9 です。
途中式を残すと、相似比 2:3 なら、面積比は 2²:3² = 4:9 です。 ＝ 4:9 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4:9 と矛盾しないことを確認します。
答え：4:9
例3
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 10 です。
与えられた式・条件は 10 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 10 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 10 と矛盾しないことを確認します。
答え：10
例4
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 10 です。
与えられた式・条件は 10 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 10 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 10 と矛盾しないことを確認します。
答え：10
⑤ 基本問題 解説
1
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は a（相似である） です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは a（相似である） になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え a（相似である） と矛盾しないことを確認します。
答え：a（相似である）
2
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 24 です。
途中式を残すと、小さい方:40 = 3:5 → 小さい方 = 40 × 3/5 = 24 cm です。 ＝ 24 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 24 と矛盾しないことを確認します。
答え：24
3
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 3:5 です。
途中式を残すと、面積比 9:25 より √9:√25 = 3:5 です。 ＝ 3:5 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 3:5 と矛盾しないことを確認します。
答え：3:5
4
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 1:1 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 1:1 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 1:1 と矛盾しないことを確認します。
答え：1:1
5
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 50 です。
途中式を残すと、面積比は相似比の2乗で 2²:5² = 4:25 です。 ＝ 50 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 50 と矛盾しないことを確認します。
答え：50
6
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は a（1:8） です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは a（1:8） になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え a（1:8） と矛盾しないことを確認します。
答え：a（1:8）
7
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 2:3 です。
途中式を残すと、4 と 6 を 2 で割ると、4:6 = 2:3 です。 ＝ 2:3 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 2:3 と矛盾しないことを確認します。
答え：2:3
8
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 2:3 です。
途中式を残すと、AB:DE = 4:6 = 2:3 なので、高さの比も 2:3 です。 ＝ 2:3 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 2:3 と矛盾しないことを確認します。
答え：2:3
9
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 2:3 です。
途中式を残すと、体積比が 8:27 のとき、相似比は立方根をとって ∛8:∛27 = 2:3 です。 ＝ 2:3 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 2:3 と矛盾しないことを確認します。
答え：2:3
10
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 4 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 4 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4 と矛盾しないことを確認します。
答え：4
11
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 2:3 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 2:3 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 2:3 と矛盾しないことを確認します。
答え：2:3
12
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 25:49 です。
途中式を残すと、5²:7² = 25:49 です。 ＝ 25:49 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 25:49 と矛盾しないことを確認します。
答え：25:49
13
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 相似 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 相似 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 相似 と矛盾しないことを確認します。
答え：相似
14
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は m²:n² です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは m²:n² になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え m²:n² と矛盾しないことを確認します。
答え：m²:n²
15
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 1:3 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 1:3 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 1:3 と矛盾しないことを確認します。
答え：1:3
16
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 8 です。
途中式を残すと、AD:AB = 4:(4+4) = 4:8 = 1:2 です。 ＝ 8 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 8 と矛盾しないことを確認します。
答え：8
17
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で長さは半分である。（中点連結定理） です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で長さは半分である。（中点連結定理） になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で長さは半分である。（中点連結定理） と矛盾しないことを確認します。
答え：三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で長さは半分である。（中点連結定理）
⑥ 標準問題 解説
18
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 150 です。
途中式を残すと、△ABC = 24 を小、△DEF を大とすると、24:x = 4:25 → 4x = 600 → x = 150 です。 ＝ 150 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 150 と矛盾しないことを確認します。
答え：150
19
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 3:4 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 3:4 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 3:4 と矛盾しないことを確認します。
答え：3:4
20
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 2:3 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 2:3 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 2:3 と矛盾しないことを確認します。
答え：2:3
21
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 4:9 です。
途中式を残すと、2²:3² = 4:9 です。 ＝ 4:9 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4:9 と矛盾しないことを確認します。
答え：4:9
22
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 4:25 です。
途中式を残すと、AD:DB = 2:3 より AD:AB = 2:(2+3) = 2:5 です。 ＝ 4:25 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4:25 と矛盾しないことを確認します。
答え：4:25
23
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は AA です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して AA を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え AA と矛盾しないことを確認します。
答え：AA
24
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 80 です。
途中式を残すと、体積比は相似比の3乗で 1³:2³ = 1:8 です。 ＝ 80 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 80 と矛盾しないことを確認します。
答え：80
25
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は DE です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して DE を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え DE と矛盾しないことを確認します。
答え：DE
26
AD:DB = 2:3 より相似比 AD:AB = 2:5、面積比は 4:25 です。
△ADE = 8 なので △ABC = 8 × (25/4) = 50 です。
四角形 DBCE = △ABC − △ADE = 50 − 8 = 42 です。
答え：42
⑦ 応用・入試形式 解説
27 比→辺→面積
DE∥BC より △ADE∽△ABC です。
相似比は AD:AB です。
（1）AD:DB = 2:3 より AD:AB = 2:5 です。
AD = 4 なので AB = 4 × (5/2) = 10 cm です。
（2）DE:BC = 2:5、DE = 6 より BC = 6 × (5/2) = 15 cm です。
答え：（1）10 （2）15 （3）4:25
28 台形の対角線
AD∥BC より、同位角・錯角で △APD∽△CPB（AA）です。
相似比は AD:BC = 6:10 = 3:5 です。
（1）対応辺の比より AP:PC = 3:5 です。
（2）面積比は 3²:5² = 9:25 です。
（3）AP:PC = 3:5、AP = 3 より PC = 5、AC = 3+5 = 8 cm です。
答え：（1）3:5 （2）9:25 （3）8
29 影と相似
同時刻の太陽光は平行なので、棒と塔の直角三角形は相似です。
相似比は高さの比＝影の比です。
（1）1.5:2 = h:12 → 2h = 18 → h = 9 m です。
（2）高さ 9、影 12 の直角三角形の斜辺は √(9²+12²) = √225 = 15 m です。
（3）塔:棒 = 9:1.5 = 6:1 です（影の比 12:2 でも同じです）。
答え：（1）9 （2）15 （3）6:1
30 平行線と交点
AB∥CD より △APB∽△CPD です。
相似比は AB:CD = 6:9 = 2:3 です。
（1）AP:PC = 2:3、AP = 4 より PC = 4 × (3/2) = 6 cm です。
（2）面積比は 2²:3² = 4:9 です。
（3）AC = AP+PC = 4+6 = 10 cm です。
答え：（1）6 （2）4:9 （3）10
40
(1) の結論は 4:9 です。
答え：4:9
41
(2) の結論は 8:27 です。
答え：8:27
42
(3) の説明です。
答え：次元が違う量は相似比をその回数だけ掛ける必要があるから。
⑧ 確認テスト 解説
31
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 25:49 です。
途中式を残すと、5²:7² = 25:49 です。 ＝ 25:49 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 25:49 と矛盾しないことを確認します。
答え：25:49
32
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は AA です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して AA を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え AA と矛盾しないことを確認します。
答え：AA
33
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 4 です。
途中式を残すと、相似比 1:3、大の辺 12 なので、小の辺 = 12 ÷ 3 = 4 です。 ＝ 4 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4 と矛盾しないことを確認します。
答え：4
34
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 2:3 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 2:3 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 2:3 と矛盾しないことを確認します。
答え：2:3
35
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 2:3 です。
途中式を残すと、面積比 16:36 = 4:9 を約分し、相似比は √4:√9 = 2:3 です。 ＝ 2:3 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 2:3 と矛盾しないことを確認します。
答え：2:3
36
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 25 です。
途中式を残すと、10:大 = 2:5 → 大 = 10 × 5/2 = 25 です。 ＝ 25 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 25 と矛盾しないことを確認します。
答え：25
37
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 1:1 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 1:1 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 1:1 と矛盾しないことを確認します。
答え：1:1
38
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は AA です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して AA を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え AA と矛盾しないことを確認します。
答え：AA
39
相似比と平行線の性質を図に書き込む。この問で求める値は 100 です。
途中式を残すと、36:x = 9:25 → 9x = 900 → x = 100 です。 ＝ 100 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 100 と矛盾しないことを確認します。
答え：100
⑨ 振り返り
間違えた問題は、どの条件で止まったかを確認し、同じ型をもう一度解いてください。