数学 第17章
二次関数 y=ax²
問題編
【既習／完成／最低25問】放物線・変域・変化の割合。
解く前に：この章の覚え方・戦い方
別冊を開かなくてよい。ここで対応表を指差し確認してから問題に入る。解けたあとも誤答はこの一覧に戻す。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
① 導入
y=ax² のグラフは原点を頂点とする放物線です。a の符号で向き、|a| で開き方を決め、 変域では0またぎ、変化の割合は区間ごとに計算します。
途中式と符号・単位を残しながら解きましょう。答えだけ書いて終わりにしないでください。
② 基本概念
- 頂点は原点、対称軸は y 軸。点 (p,q) の対称点は (−p,q)。a>0 で下に凸、a<0 で上に凸。
- 点 (x,y)（x≠0）を通る → a=y/x²。|a| が小さいほどグラフは横に開く。
- 変化の割合 = a(p+q)（x が p から q）。一次関数と違い、区間ごとに値が変わる。
- 変域は端点の y だけでなく、0 をまたぐときは頂点 (0,0) も比較する。
- 放物線上の2点を結ぶ直線→交点→三角形の面積、という連鎖が定番。
③ 図解
aの符号で上向き・下向きを決め、|a|で開きの細さを比べます。xが正負で対になる点を表へ書き、y軸対称かを図で確認します。
xの範囲に0が入るかを最初に確認し、入るなら頂点のy=0を候補にします。両端と0を表で比べ、aが負なら大小が逆になることを読みます。
始点pと終点qをx軸上で確認し、それぞれのyの値を図または式から読みます。縦の変化量÷横の変化量を計算し、区間により値が変わると確認します。
④ 例題
y=2x² のグラフの形は？
y=−3x² で x=2 のときの y
y=ax² が点 (3,12) を通る。a を求めよ。
y=2x² で x が −1 から 3 まで変化するときの変化の割合
⑤ 基本問題
y=−x² について正しいもの
y=3x² で x が 1 から 3 まで増えたときの変化の割合
y=x² で x=−2 のときの y
y=ax² が (2,8) を通る。a
y=ax² が y=2x² より「開いている」条件
y=x² の頂点の座標
y=5x² で x=−1 と x=1 の y は等しいか。等しければその値
変化の割合が常に一定なのは
y=−2x² で x=2 の y
y=x² で x:0→4 の変化の割合
a>0 の y=ax²
y=(1/2)x² で x=4 の y
⑥ 標準問題
y=2x² で −3≦x≦1 のときの y の変域
y=−x² で −2≦x≦3 の y の変域
y=x² と y=3x の交点（すべて、(x,y)）
y=ax² が (2,12) を通る。x:1→5 の変化の割合
y=x² で −1≦x≦2 の y の変域
y=2x² で x が −2 から 1 へ変化するときの変化の割合
y=x² と y=−x+2 の交点の x 座標
⑦ 応用・入試形式
北辰・入試の関数大問と同型です。(1)→(2)→(3) と途中結果を次で使う連鎖問題です。
関数 y = (1/2)x² のグラフ上に点 A(−4, 8)、点 C(2, 2) がある。 点 A と y 軸について対称な点を B とする。 (1) 点 B の座標を求めよ。 (2) 直線 AC の式を求めよ。 (3) 原点 O と点 A、C を結んでできる △OAC の面積を求めよ。
答え（1）点Bの座標：
答え（2）直線ACの式：
答え（3）面積：
関数 y = x² と y = −2x² + 18 のグラフの交点のうち、x>0 のものを P、x<0 のものを Q とする。 (1) 点 P、Q の座標をすべて求めよ。 (2) 直線 PQ の式を求めよ。 (3) 原点 O と点 P、Q でできる △OPQ の面積を求めよ。
答え（1）P,Q：
答え（2）直線PQ：
答え（3）面積：
関数 y = −x² について、x の変域が −1≦x≦3 のとき、 (1) x=−1、x=0、x=3 のそれぞれの y を求めよ（カンマ区切り）。 (2) y の変域を求めよ。両端の y だけを比べるとなぜ誤りかも説明せよ。
答え（1）yの値：
答え（2）変域：
関数 y = ax² が点 (−1, 2) を通る。 (1) a の値を求めよ。 (2) x が −2 から 3 まで変化するときの変化の割合を求めよ。
答え（1）a：
答え（2）変化の割合：
次のうち誤っているものを選べ。
【総合・二次関数】(1)〜(3)
(1) y=x^2 で x=3 の y を求めなさい。
(2) x=1→3 の変化の割合 を求めなさい。
(3) 対称軸を使う利点を40字で述べなさい。
模範：
⑧ 確認テスト
制限時間の目安: 12分。
y=4x² で x=−3 の y
y=ax² が (4,8) を通る。a
y=−3x² で −1≦x≦2 の y の変域
y=x² で x:−3→1 の変化の割合
正しいものを選べ
y=x² と y=4 の交点の x 座標