数学 第17章
二次関数 y=ax²
解説編
【既習／完成／最低25問】放物線・変域・変化の割合。
図解で確認（メイン）
まず図を確認し、下の解説で各問の手順と根拠をたどってください。図が3枚あります。
aの符号で上向き・下向きを決め、|a|で開きの細さを比べます。xが正負で対になる点を表へ書き、y軸対称かを図で確認します。
xの範囲に0が入るかを最初に確認し、入るなら頂点のy=0を候補にします。両端と0を表で比べ、aが負なら大小が逆になることを読みます。
始点pと終点qをx軸上で確認し、それぞれのyの値を図または式から読みます。縦の変化量÷横の変化量を計算し、区間により値が変わると確認します。
答え合わせで確認：語呂・必暗・手順
正解／不正解のあと、知識不足なら下の対応表・必暗をその場で再生する。手順ミスなら戦い方を見直す。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
図で確認
aの符号で上向き・下向きを決め、|a|で開きの細さを比べます。xが正負で対になる点を表へ書き、y軸対称かを図で確認します。
xの範囲に0が入るかを最初に確認し、入るなら頂点のy=0を候補にします。両端と0を表で比べ、aが負なら大小が逆になることを読みます。
始点pと終点qをx軸上で確認し、それぞれのyの値を図または式から読みます。縦の変化量÷横の変化量を計算し、区間により値が変わると確認します。
① 導入
この解説は、問題を解いたあと、または途中で止まったときに読んでください。 型の説明は要点編に任せ、ここでは各問の手順を書きます。
② 基本概念
- 頂点は原点で、対称軸は y 軸です。y 軸対称では x の符号だけが反対になります。
- 変域では、端点だけでなく、x の範囲に 0 が含まれるかを確認します。
- 変化の割合は区間ごとに変わります。公式は a(p+q) です。
- 入試の大問では、点 → 対称 → 直線 → 面積と続くことが多いです。
③ 図の確認
放物線の向きと、変域で頂点を見る必要があるかを図で確認してください。
④ 例題 解説
例1 y=2x² の形
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 下に凸 です。
途中式を残すと、a = 2 は正の数なので、グラフは下に凸です。 ＝ 下に凸 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 下に凸 と矛盾しないことを確認します。
答え：下に凸
例2 y=−3x²、x=2 のときの y
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は −12 です。
途中式を残すと、先に二乗してから掛けます。y = −3 × 2² = −3 × 4 = −12 です。 ＝ −12 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え −12 と矛盾しないことを確認します。
答え：−12
例3 点 (3,12) を通る y=ax²
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 4/3 です。
途中式を残すと、12 = a × 3² = 9a より、a = 12/9 = 4/3 です。 ＝ 4/3 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4/3 と矛盾しないことを確認します。
答え：4/3
例4 y=2x²、x が −1 から 3
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 4 です。
途中式を残すと、変化の割合は a(p+q) = 2 × (−1 + 3) = 4 です。定義どおりに計算しても (18−2)/(3−(−1)) = 4 で一致します。 ＝ 4 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4 と矛盾しないことを確認します。
答え：4
⑤ 基本問題 解説
1
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 上に凸 です。
途中式を残すと、y = −x² は a < 0 なので、上に凸です。 ＝ 上に凸 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 上に凸 と矛盾しないことを確認します。
答え：上に凸
2
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 12 です。
途中式を残すと、a(p+q) = 3 × (1 + 3) = 12 です。 ＝ 12 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 12 と矛盾しないことを確認します。
答え：12
3
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 4 です。
途中式を残すと、y = (−2)² = 4 です。 ＝ 4 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4 と矛盾しないことを確認します。
答え：4
4
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 2 です。
途中式を残すと、8 = a × 2² = 4a より、a = 2 です。 ＝ 2 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 2 と矛盾しないことを確認します。
答え：2
5
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は |a| < 2 です。
途中式を残すと、|a| が小さいほどグラフは横に開いて見えます。y=2x² より開いているのは |a| < 2 のときです。 ＝ |a| < 2 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え |a| < 2 と矛盾しないことを確認します。
答え：|a| < 2
6
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は (0, 0) です。
途中式を残すと、y = x² の頂点は原点です。 ＝ (0, 0) となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え (0, 0) と矛盾しないことを確認します。
答え：(0, 0)
7
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 5 です。
途中式を残すと、左右対称なので、x = −1 と x = 1 の y は等しく、どちらも 5 です。 ＝ 5 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 5 と矛盾しないことを確認します。
答え：5
8
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 一次関数 です。
途中式を残すと、変化の割合が常に一定なのは一次関数です。y = ax² では区間によって変わります。 ＝ 一次関数 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 一次関数 と矛盾しないことを確認します。
答え：一次関数
9
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は −8 です。
途中式を残すと、y = −2 × 2² = −8 です。 ＝ −8 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え −8 と矛盾しないことを確認します。
答え：−8
10
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 4 です。
途中式を残すと、a(p+q) = 1 × (0 + 4) = 4 です。 ＝ 4 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4 と矛盾しないことを確認します。
答え：4
11
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 下に凸 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 下に凸 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 下に凸 と矛盾しないことを確認します。
答え：下に凸
12
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 8 です。
途中式を残すと、y = (1/2) × 4² = (1/2) × 16 = 8 です。 ＝ 8 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 8 と矛盾しないことを確認します。
答え：8
⑥ 標準問題 解説
13
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 0 ≦ y ≦ 18 です。
途中式を残すと、y = 2x²、−3 ≦ x ≦ 1 です。範囲に 0 が含まれるので、頂点も比べます。x = −3 で y = 18、x = 0 で y = 0、x = 1 で y = 2 より、変域は 0 ≦ y ≦ 18 です。 ＝ 0 ≦ y ≦ 18 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 0 ≦ y ≦ 18 と矛盾しないことを確認します。
答え：0 ≦ y ≦ 18
14
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は −9 ≦ y ≦ 0 です。
途中式を残すと、y = −x²、−2 ≦ x ≦ 3 です。上に凸で頂点が最大なので、最大は 0、最小は x = 3 の −9 です。変域は −9 ≦ y ≦ 0 です。 ＝ −9 ≦ y ≦ 0 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え −9 ≦ y ≦ 0 と矛盾しないことを確認します。
答え：−9 ≦ y ≦ 0
15
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は (0, 0), (3, 9) です。
途中式を残すと、x² = 3x より x² − 3x = 0、x(x − 3) = 0 です。x = 0, 3 を y = 3x に代入して、(0, 0), (3, 9) です。 ＝ (0, 0), (3, 9) となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え (0, 0), (3, 9) と矛盾しないことを確認します。
答え：(0, 0), (3, 9)
16
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 18 です。
途中式を残すと、まず a を求めます。12 = a × 2² より a = 3 です。変化の割合は 3 × (1 + 5) = 18 です。 ＝ 18 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 18 と矛盾しないことを確認します。
答え：18
17
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 0 ≦ y ≦ 4 です。
途中式を残すと、y = x²、−1 ≦ x ≦ 2 です。0 を含むので最小は 0、最大は x = 2 の 4 です。変域は 0 ≦ y ≦ 4 です。 ＝ 0 ≦ y ≦ 4 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 0 ≦ y ≦ 4 と矛盾しないことを確認します。
答え：0 ≦ y ≦ 4
18
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は −2 です。
途中式を残すと、a(p+q) = 2 × (−2 + 1) = −2 です。 ＝ −2 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え −2 と矛盾しないことを確認します。
答え：−2
19
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は x = −2, 1 です。
途中式を残すと、x² = −x + 2 より x² + x − 2 = 0、(x + 2)(x − 1) = 0 です。交点の x 座標は x = −2, 1 です。 ＝ x = −2, 1 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え x = −2, 1 と矛盾しないことを確認します。
答え：x = −2, 1
⑦ 応用・入試形式 解説
20 対称 → 直線 → 面積
関数は y = (1/2)x² です。点 A(−4, 8)、点 C(2, 2) があります。
(1) y 軸対称なので、x の符号だけを反対にします。B は (4, 8) です。y = (1/2)×4² = 8 で放物線上であることも確認できます。
(2) 傾き = (2 − 8)/(2 − (−4)) = (−6)/6 = −1 です。点 A を使うと y − 8 = −1(x + 4) より y = −x + 4 です。
(3) O(0, 0)、A(−4, 8)、C(2, 2) より、面積 = (1/2)| (−4)×2 − 8×2 | = 12 です。別解として、直線と y 軸の交点 (0, 4) を使っても 12 になります。
答え：(1) (4, 8) (2) y = −x + 4 (3) 12
21 交点 → 直線 PQ → 面積
(1) x² = −2x² + 18 より 3x² = 18、x² = 6、x = ±√6 です。y = 6 なので、P(√6, 6)、Q(−√6, 6) です。
(2) 両点の y が等しいので、直線 PQ は y = 6 です。
(3) 底辺 PQ = 2√6、高さ 6 より、面積 = (1/2)×2√6×6 = 6√6 です。
答え：(1) P(√6, 6), Q(−√6, 6) (2) y = 6 (3) 6√6
22 変域と 0 またぎ
(1) x = −1 で y = −1、x = 0 で y = 0、x = 3 で y = −9 です。
(2) 上に凸で頂点が最大なので、最大は 0、最小は −9 です。変域は −9 ≦ y ≦ 0 です。両端だけを見ると頂点の 0 を落とします。
答え：(1) −1, 0, −9 (2) −9 ≦ y ≦ 0
23 a → 変化の割合
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は (1) 2 (2) 2 です。
途中式を残すと、(1) 2 = a × (−1)² より a = 2 です。 ＝ (1) 2 (2) 2 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え (1) 2 (2) 2 と矛盾しないことを確認します。
答え：(1) 2 (2) 2
24
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は c です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して c を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え c と矛盾しないことを確認します。
答え：c
40
(1) の結論は 9 です。
答え：9
41
(2) の結論は 4 です。
答え：4
42
(3) の説明です。
答え：対応する点のxが対称に決まり座標計算が半分で済むから。
⑧ 確認テスト 解説
25
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 36 です。
途中式を残すと、y = 4 × (−3)² = 36 です。 ＝ 36 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 36 と矛盾しないことを確認します。
答え：36
26
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は 1/2 です。
途中式を残すと、8 = a × 4² = 16a より a = 1/2 です。 ＝ 1/2 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 1/2 と矛盾しないことを確認します。
答え：1/2
27
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は −12 ≦ y ≦ 0 です。
途中式を残すと、y = −3x²、−1 ≦ x ≦ 2 です。最大は頂点の 0、最小は x = 2 の −12 です。変域は −12 ≦ y ≦ 0 です。 ＝ −12 ≦ y ≦ 0 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え −12 ≦ y ≦ 0 と矛盾しないことを確認します。
答え：−12 ≦ y ≦ 0
28
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は −2 です。
途中式を残すと、a(p+q) = 1 × (−3 + 1) = −2 です。 ＝ −2 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え −2 と矛盾しないことを確認します。
答え：−2
29
二次関数 y=ax² は y軸対称なので f(−x)=f(x) が成り立ちます。原点だけでは a は決まらず、変化の割合は区間で変わります。a>0 なら最小が0で最大は区間端です。
したがって正しいものは「f(−x)=f(x)（y軸対称）」です。
答え：b（f(−x)=f(x)（y軸対称））
30
二次関数は軸・頂点・変域を先に押さえる。この問で求める値は x=±2 です。
途中式を残すと、代入で検算すると (±2)²=4 となり、直線 y=4 と一致します。 ＝ x=±2 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え x=±2 と矛盾しないことを確認します。
答え：x=±2
⑨ 振り返り
間違えた問題は、どの小問で止まったかを確認し、同じ型をもう一度解いてください。