数学 第14章
展開・因数分解
問題編
【既習／完成／最低25問】乗法公式と因数分解。
解く前に：この章の覚え方・戦い方
別冊を開かなくてよい。ここで対応表を指差し確認してから問題に入る。解けたあとも誤答はこの一覧に戻す。
覚え方展開・因数分解の往復
公式は暗唱だけでなく、展開→因数分解→展開で戻す。中央項の符号が最頻出ミス。
- (a+b)²a²+2ab+b²
- (a+b)(a−b)a²−b²
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
① 導入
展開は積を和へ、因数分解は和を積へ変える逆操作です。分配法則と乗法公式を往復し、 最後は展開で検算します。
乗法公式は必ず覚えたうえで、当てはめと展開による検算まで残しましょう。
② 基本概念
- 展開：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。掛け漏れを防ぐ。
- 公式：(a+b)²=a²+2ab+b²、(a−b)²=a²−2ab+b²、(a+b)(a−b)=a²−b²
- 因数分解：共通因数→公式→x²+(p+q)x+pq 型の順。
③ 図解
一辺a+bの正方形を四つの部分に分け、中央の二長方形がabずつあることを読みます。面積を足してa²+2ab+b²になる順を確認します。
a²からb²を引く図を、辺a-bとa+bの長方形へ組み替えて読みます。展開したときに中央項が打ち消し合うことを式と図の両方で確かめます。
全項に共通する数や文字を最初に探し、くくった後の形を見ます。次に平方差や完全平方、二次式の公式を選び、最後は展開して元の式へ戻します。
分配の格子表・平方の面積モデル・平方差を思い浮かべながら解く。
④ 例題
次の式を展開しなさい。
(x + 3)(x + 5)
次の式を展開しなさい。
(2x − 3)²
次の式を因数分解しなさい。
x² − 9
次の式を因数分解しなさい。
x² + 7x + 12
⑤ 基本問題
(x + 2)(x + 4) を展開せよ。
(x − 5)(x + 5) を展開せよ。
(3x + 1)² を展開せよ。
(2x − 3)(x + 4) を展開せよ。
(x − 4)² を展開せよ。
3x + 6 を因数分解せよ。
x² − 16 を因数分解せよ。
x² + 5x + 6 を因数分解せよ。
x² − 6x + 9 を因数分解せよ。
6x² − 15x を因数分解せよ。
(x + y)(x − y) を展開せよ。
x² − 4x − 12 を因数分解せよ。
⑥ 標準問題
(x + 2y − 3)(x + 2y + 3) を展開し、簡単にしなさい。
(a + b)² − (a − b)² を簡単にしなさい。
x² − 5x − 14 を因数分解せよ。
4x² − 12x + 9 を因数分解せよ。
ax + ay + bx + by を因数分解せよ。
正しいものをすべて選べ。
x⁴ − 5x² + 4 を因数分解せよ（完全に）。
⑦ 応用・入試形式
図の面積モデルを使い、縦を x+4、横を x+3 とする。 (1) 面積を展開しなさい。 (2) x=2 のときの面積を求めなさい。 (3) (x+4)(x+3)=48 を解き、正の x を求めなさい。
答え（1）面積の式：
答え（2）面積：
答え（3）x：
長方形の縦を x+5 cm、横を x−1 cm とする。 (1) 面積を x の式で表しなさい。 (2) 面積が 55 cm² のときの x を求めなさい。 (3) このときの周の長さを求めなさい。
答え（1）面積の式：
答え（2）x：
答え（3）周の長さ cm：
【総合・展開】(1)〜(3)
(1) (2x+1)(x-4) を求めなさい。
(2) x=2 の値 を求めなさい。
(3) 展開後に代入する利点を40字で述べなさい。
模範：
⑧ 確認テスト
制限時間の目安: 15分。
(2x − 5)(3x + 4) を展開せよ。
x² − 8x + 16 を因数分解せよ。
x² − x − 12 を因数分解せよ。
(x + y)² − 4xy を因数分解せよ。
2x² + 6x + 4 を因数分解せよ（完全に）。
(x − 1)² − (x + 1)² を簡単にしなさい。