数学 第12章
三角形・四角形
要点編
【既習／完成／最低25問】図形の性質と証明。
① この章のねらい
三角形・四角形では、図の辺の印と平行印から性質を呼び出し、角度と辺の関係をつなげます。内角和は最後に計算する道具で、まずどの図形のどの性質かを特定します。
- 三角形の内角・外角を使う
- 二等辺三角形の底角を読む
- 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形を判別する
- 対角線や平行の性質を根拠にする
② 図と説明
下の図を順に見てください。各図の下に、その図の読み方を書いてあります。
図 1. 三角形・四角形の性質
平行・等辺・直角の印から図形の種類を判定します。対角線や向かい合う辺・角の性質を図へ書き、内角和を使う前の根拠を明確にします。
図形名を決める印を読む
向かい合う二組の辺に平行印があれば平行四辺形です。そこから向かい合う辺・角が等しい、対角線がそれぞれの中点で交わるという性質へ進めます。直角印があれば長方形、四辺の等しい印があればひし形、両方なら正方形です。見た目の正しそうな形ではなく印で判定します。
図 2. 合同とのつながり
図形の性質を証明するときは、まず対応する三角形を見つけます。等しい条件を根拠付きで三組示し、合同の後に対応辺・対応角を使います。
二等辺は等しい辺の向かいの角を見る
等しい二辺に挟まれた角ではなく、それぞれの辺の向かい側にある二つの底角が等しくなります。頂角と底角を混同しやすいので、等しい辺から向かいの頂点へ視線を動かして確認します。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
③ 続きの説明
3. 内角和は図形を分けて理由を保つ
三角形は180°、四角形は360°です。多角形は一つの頂点から対角線を引き、できる三角形の数で内角和を考えます。外角は隣り合う内角との和が180°であることも使い、どの角を足したか図へ書き込みます。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
4. 対角線は性質の入口になる
平行四辺形では対角線がそれぞれの中点で交わり、長方形では対角線が等しく、ひし形では対角線が直交します。まず図形名を印で確定し、次に使える対角線の性質を一つ選び、最後に長さや角の計算へ進み、求めた値が性質と矛盾しないか検算します。図や式に戻って、使った条件と答えが矛盾していないかを毎回言葉で確認します。
受験で押さえる（この章）
公式は「唱える」だけでなく、いつ使うか・何を検算するかをセットで固める。比や式は「どの数がどの辺／どの項か」まで対応させる。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
⑤ 公式・用語
| 名称 | 内容 | メモ |
|---|---|---|
| 三角形の内角和 | 180° | — |
| 四角形の内角和 | 360° | — |
| 平行四辺形 | 向かい合う辺・角が等しく、対角線は互いに二等分 | — |
用語
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 外角 | 内角と一直線になる外側の角 |
| 底角 | 二等辺三角形の等しい二角 |
| 対角線 | 向かい合う頂点を結ぶ線分 |
⑥ 手順
図形の角度を求める
- 平行・等辺・直角の印を確認する
- 図形の種類と使う性質を言う
- 等しい角や補角を図へ移す
- 内角和で残りを求め根拠を添える
⑦ 例題
途中の考え方を追うための例です。演習は問題編で行います。
二等辺三角形の頂角が40°のとき、底角は。
考え方
(180−40)÷2。等しい二つの底角に分ける。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。
答え：70°
平行四辺形の一つの内角が110°のとき、隣り合う角は。
考え方
隣り合う内角は180°。対角の110°と混同しない。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。
答え：70°
三角形の外角が120°のとき、隣り合わない二つの内角の和は。
考え方
まず外角は隣の内角と一直線で和が180°であることを確認します。次に「外角＝隣り合わない二つの内角の和」を使い、最後に答え120°が与えられた外角と一致するか検算します。途中の式と答えの意味を問題文の条件へ戻し、符号・単位・求める形式まで検算します。
答え：120°
⑧ 入試での使われ方
- 図形の種類を印から宣言する
- 等しい辺の向かいにある角を対応させる
- ⑤基本：ちびむす/手鏡 ⑥標準：005net例題 ⑦応用：JS88型連鎖＋本アプリ
- JS88数学過去問を50分×週1回
- 005net「入試対策数学総合」で総合力を確認
⑨ よくある誤り
- 長方形とひし形を見た目だけで判定する
- 二等辺三角形の頂角を底角とする
- 対角と隣角の性質を混同する
⑩ 確認
次ができたら問題編へ進んでください。
- 図形の性質を印から選べる
- 内角・外角の関係を使える
- 対角線の性質を説明できる