数学第11章

平行と合同・証明入門

解説編

【既習／完成／最低25問】同位角・錯角・合同条件。

図解で確認（メイン）

まず図を確認し、下の解説で各問の手順と根拠をたどってください。図が2枚あります。

答え合わせで確認：語呂・必暗・手順

正解／不正解のあと、知識不足なら下の対応表・必暗をその場で再生する。手順ミスなら戦い方を見直す。

必暗この章の公式（使い方付き）

左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。

覚えの手がかり対応する答え

不等式両辺に負を掛けると不等号が逆　／　解は数直線で表す

戦い方数学の戦い方

詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。

手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢

図で確認

【図】平行線と同位角・錯角

① 導入

平行の印と横断線を見て、同位角・錯角・対頂角を区別する。各問の手順を確認します。

② 基本概念

平行 ⇒ 同位角・錯角が等しい
対頂角は常に等しい
合同は対応順と条件

③ 図の確認

図の ∠1 と ∠2 は錯角。平行なら等しい。

④ 例題解説

例1

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は a（等しい）です。

条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは a（等しい）になります。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え a（等しい）と矛盾しないことを確認します。

答え：a（等しい）

例2

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は b（いつも等しい）です。

条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは b（いつも等しい）になります。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え b（いつも等しい）と矛盾しないことを確認します。

答え：b（いつも等しい）

例3

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 65 です。

与えられた式・条件は 65 です。

条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 65 になります。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 65 と矛盾しないことを確認します。

答え：65

例4

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は b（∠E）です。

条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは b（∠E）になります。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え b（∠E）と矛盾しないことを確認します。

答え：b（∠E）

⑤ 基本問題解説

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は a（等しい）です。

条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは a（等しい）になります。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え a（等しい）と矛盾しないことを確認します。

答え：a（等しい）

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 110 です。

設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 110 を導きます。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 110 と矛盾しないことを確認します。

答え：110

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 180 です。

設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 180 を導きます。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 180 と矛盾しないことを確認します。

答え：180

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 48 です。

設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 48 を導きます。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 48 と矛盾しないことを確認します。

答え：48

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は b（錯角）です。

設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して b（錯角）を導きます。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え b（錯角）と矛盾しないことを確認します。

答え：b（錯角）

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 70 です。

途中式を残すと、∠1=70° なら対応する ∠2 も 70° です。＝ 70 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 70 と矛盾しないことを確認します。

答え：70

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 70 です。

与えられた式・条件は 70 です。

条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 70 になります。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 70 と矛盾しないことを確認します。

答え：70

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は d（3組の角がそれぞれ等しい）です。

条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは d（3組の角がそれぞれ等しい）になります。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え d（3組の角がそれぞれ等しい）と矛盾しないことを確認します。

答え：d（3組の角がそれぞれ等しい）

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は YZ です。

設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して YZ を導きます。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え YZ と矛盾しないことを確認します。

答え：YZ

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 5 です。

途中式を残すと、AB に対応する辺は DE なので、DE=AB=5 です。＝ 5 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 5 と矛盾しないことを確認します。

答え：5

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 80 です。

途中式を残すと、△ABC で ∠A=40°、∠B=60° なら ∠C=80° です。＝ 80 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 80 と矛盾しないことを確認します。

答え：80

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は c（対頂角）です。

条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは c（対頂角）になります。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え c（対頂角）と矛盾しないことを確認します。

答え：c（対頂角）

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 125 です。

途中式を残すと、直線上で隣り合う角は補角なので 180−55=125° です。＝ 125 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 125 と矛盾しないことを確認します。

答え：125

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は a（対応する辺と角がそれぞれ等しい）です。

条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは a（対応する辺と角がそれぞれ等しい）になります。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え a（対応する辺と角がそれぞれ等しい）と矛盾しないことを確認します。

答え：a（対応する辺と角がそれぞれ等しい）

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 40 です。

途中式を残すと、AB=AC の二等辺三角形では底角が等しいです。＝ 40 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 40 と矛盾しないことを確認します。

答え：40

⑥ 標準問題解説

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 30 です。

与えられた式・条件は 30 です。

条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 30 になります。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 30 と矛盾しないことを確認します。

答え：30

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 35 です。

途中式を残すと、平行なら錯角は等しいので 3x−15=2x+20 です。＝ 35 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 35 と矛盾しないことを確認します。

答え：35

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は b（対応する頂点の順序が一般に正しくない）です。

設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して b（対応する頂点の順序が一般に正しくない）を導きます。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え b（対応する頂点の順序が一般に正しくない）と矛盾しないことを確認します。

答え：b（対応する頂点の順序が一般に正しくない）

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は b（2辺夾角）です。

途中式を残すと、AB=DE、∠A=∠D、AC=DF は、2辺とその間の角が等しい形です。＝ b（2辺夾角）となります。演算の順序と符号を毎行確認します。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え b（2辺夾角）と矛盾しないことを確認します。

答え：b（2辺夾角）

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 20 です。

途中式を残すと、同位角 4x° と、その隣の角 2x+60° は一直線上なので和が 180° です。＝ 20 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 20 と矛盾しないことを確認します。

答え：20

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は a（仮定（与えられた条件））です。

条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは a（仮定（与えられた条件））になります。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え a（仮定（与えられた条件））と矛盾しないことを確認します。

答え：a（仮定（与えられた条件））

⑦ 応用・入試形式解説

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は（1）65　（2）錯角　（3）115 です。

条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは（1）65　（2）錯角　（3）115 になります。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え（1）65　（2）錯角　（3）115 と矛盾しないことを確認します。

答え：（1）65　（2）錯角　（3）115

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は（1）2辺夾角　（2）DF　（3）9 です。

途中式を残すと、AB=DE、BC=EF、∠B=∠E は 2辺夾角です。＝（1）2辺夾角　（2）DF　（3）9 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え（1）2辺夾角　（2）DF　（3）9 と矛盾しないことを確認します。

答え：（1）2辺夾角　（2）DF　（3）9

(1) の結論は ASA です。

答え：ASA

(2) の結論ははいです。

答え：はい

(3) の説明です。

答え：どの辺・角が対応するか決めないと条件の当てはめを誤るから。

⑧ 確認テスト解説

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 72 です。

設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 72 を導きます。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 72 と矛盾しないことを確認します。

答え：72

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 105 です。

設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 105 を導きます。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 105 と矛盾しないことを確認します。

答え：105

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 1 です。

設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 1 を導きます。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 1 と矛盾しないことを確認します。

答え：1

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は 30 です。

途中式を残すと、平行なら錯角は等しいので x+20=3x−40 です。＝ 30 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 30 と矛盾しないことを確認します。

答え：30

不等式は不等号の向きに注意して両辺を処理する。この問で求める値は a（証明では仮定と根拠を明示する）です。

条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは a（証明では仮定と根拠を明示する）になります。

最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え a（証明では仮定と根拠を明示する）と矛盾しないことを確認します。

答え：a（証明では仮定と根拠を明示する）

⑨ 振り返り

間違えた問題は、どの条件で止まったかを確認し、同じ型をもう一度解いてください。