数学 第10章
一次関数
要点編
【既習／完成／最低25問】傾き・切片・変化の割合・交点。
① この章のねらい
一次関数は y=ax+b の直線を、傾きaと切片bという図の二つの情報から読む単元です。図では「右へどれだけ進むと、上へ（下へ）どれだけ動くか」を先に読み、式と対応させます。
- 傾きと切片をグラフで読む
- 二点から変化の割合を求める
- 点と傾きから式を決める
- 二直線の交点を連立で求める
② 図と説明
下の図を順に見てください。各図の下に、その図の読み方を書いてあります。
図 1. 一次関数の傾きと切片
y軸と交わる点を読んで切片bを決め、格子点二つの縦の差÷横の差で傾きaを求めます。右上がり・右下がりと符号が合うか確認します。
切片はy軸、傾きは移動の比
bはx=0のときのyで、直線がy軸と交わる高さです。aはxの増加量に対するyの増加量で、右へ2、上へ1ならa=1/2です。グラフの目盛りが1目盛り1とは限らないため、軸の数値を読んで二点の差から確認します。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
③ 続きの説明
2. 二点からは縦の変化÷横の変化
点(x₁,y₁)、(x₂,y₂)なら傾きは(y₂−y₁)/(x₂−x₁)です。分子と分母を逆にすると傾きでなく逆数になります。増加なら正、減少なら負になることを、直線が右上がりか右下がりかで検算します。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
3. 式はaを決めてからbを決める
二点または傾きからaを出し、通る一点をy=ax+bへ代入してbを求めます。交点では二つのyを等しいと置き、xだけで終えず元の式に代入して座標の組へ戻します。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
4. 変域は端点と向きをセットで見る
xの範囲が与えられたら、まず端点のxでのyを計算し、次に傾きの符号で増減を見て最大・最小を決め、最後に不等号が端点を含むか（≦か＜か）を設問どおり検算します。途中の値だけで範囲を決めません。図や式に戻って、使った条件と答えが矛盾していないかを毎回言葉で確認します。
受験で押さえる（この章）
公式は「唱える」だけでなく、いつ使うか・何を検算するかをセットで固める。比や式は「どの数がどの辺／どの項か」まで対応させる。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方最初の一手
止まったら分野名より「図・表・式のどれに書き直すか」を決める。
- 関数与えられた点・変域を座標に写す
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
⑤ 公式・用語
| 名称 | 内容 | メモ |
|---|---|---|
| 一次関数 | y=ax+b | — |
| 傾き | yの増加量÷xの増加量 | — |
| 切片 | x=0のときのy=b | — |
用語
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 変化の割合 | xが増えた量に対するyの増えた量 |
| 切片 | y軸との交点のy座標 |
| 交点 | 二直線で共通する座標 |
⑥ 手順
グラフから式を読む
- y軸との交点を読んでbを決める
- 格子点など二点の差からaを求める
- y=ax+bに代入する
- 読んだ二点を式へ代入して確かめる
⑦ 例題
途中の考え方を追うための例です。演習は問題編で行います。
y=−2x+3の傾きと切片は。
考え方
符号を含む係数が傾き、定数項が切片。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。
答え：−2、3
(1,2)、(3,8)を通る一次関数の式は。
考え方
傾きは(8−2)/(3−1)=3。2=3×1+bよりb=−1。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。
答え：y=3x−1
y=2x−1とy=−x+5の交点は。
考え方
まず二つの式のyを等しいと置いて2x−1=−x+5とします。次に3x=6からx=2を求め、最後にどちらにも代入してy=3になるか検算します。途中の式と答えの意味を問題文の条件へ戻し、符号・単位・求める形式まで検算します。途中の式と答えの意味を問題文の条件へ戻し、符号・単位・求める形式まで検算します。
答え：(2,3)
⑧ 入試での使われ方
- 軸の目盛りと二点の座標を先に読む
- 傾きの符号を直線の向きで検算する
- ⑤基本：ちびむす/手鏡 ⑥標準：005net例題 ⑦応用：JS88型連鎖＋本アプリ
- JS88数学過去問を50分×週1回
- 005net「入試対策数学総合」で総合力を確認
⑨ よくある誤り
- 傾きをxの増加量÷yの増加量にする
- 切片をx軸との交点とする
- 交点のx座標だけを答える
⑩ 確認
次ができたら問題編へ進んでください。
- 図からaとbを説明できる
- 二点から式を作れる
- 交点を座標で答えられる