数学 第9章
連立方程式
要点編
【既習／完成／最低25問】加減法・代入法・文章題。
① この章のねらい
連立方程式は、二本の直線が同時に成り立つ点を式で求める単元です。加減法では消す文字の係数をそろえ、代入法では一方の式をもう一方へ正確に入れます。
- 解を座標の組として読む
- 加減法で文字を消去する
- 代入法で一文字の式へ直す
- 文章の二条件を二式にする
② 図と説明
下の図を順に見てください。各図の下に、その図の読み方を書いてあります。
図 1. 連立方程式の考え方
二本の直線の交点を座標で読み、同じ(x,y)が両方の式を満たすことを確認します。加減法では消す文字、代入法では置き換える式を選びます。
解は二つの式を同時に満たす組
x=3、y=2のように二つの値がそろって初めて解です。グラフでは二直線の交点に対応します。片方の式だけで確かめず、求めた組を二本の式へ代入して両方が成り立つかを確認します。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
図 2. 文章題→式
問題文の数量を表に分け、何をxとyに置くかを先に決めます。合計や差など二つの条件をそれぞれ式へ写し、答えを文章へ戻して確かめます。
加減法は係数をそろえて引く
消したい文字の係数を同じ数または符号が反対になるよう各式へ掛けます。式全体に掛けるので、定数項を含む全ての項へ掛けます。加えるか引くかは、そろえた係数が同符号か異符号かで決め、計算後に残った一文字の方程式を解きます。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
③ 続きの説明
3. 文章題は数量の対応表から二式にする
品物の個数と代金、人数と合計などを表にし、xとyが何を表すかを固定します。「合計」と「別の合計」が二つの独立した条件です。解の数値を問題文へ戻し、負の個数や単価にならないかを確かめます。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
4. 代入法は一方を解いて他方へ入れる
まず片方の式をx=…またはy=…の形に直し、次に他方の式へ代入して一文字の方程式を解き、最後にその値をもとの式へ戻して(x,y)の組を作り、両式へ代入して検算します。係数を掛け忘れた行がないかも見ます。図や式に戻って、使った条件と答えが矛盾していないかを毎回言葉で確認します。
受験で押さえる（この章）
公式は「唱える」だけでなく、いつ使うか・何を検算するかをセットで固める。比や式は「どの数がどの辺／どの項か」まで対応させる。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
⑤ 公式・用語
| 名称 | 内容 | メモ |
|---|---|---|
| 連立方程式 | 二つ以上の方程式を同時に満たす | — |
| 加減法 | 係数をそろえて加減し一文字を消す | — |
| 代入法 | 一方の式を他方へ代入する | — |
用語
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 解 | 全ての式を成り立たせる値の組 |
| 消去 | 加減して一つの文字をなくす |
| 交点 | 二直線に共通する点 |
⑥ 手順
加減法
- 消す文字を決める
- 係数をそろえるため両辺へ同じ数を掛ける
- 二式を加減して一文字にする
- 残りの文字を代入して組で検算する
⑦ 例題
途中の考え方を追うための例です。演習は問題編で行います。
x+y=5、x−y=1を解きなさい。
考え方
二式を加えると2x=6。x=3を代入してy=2。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。
答え：(x,y)=(3,2)
りんごx円、みかんy円で2x+3y=520、x+2y=300のときxを求める。
考え方
二つの購入条件を連立し、解を代金として検算します。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。
答え：140円
y=2x+1とx+y=7の交点は。
考え方
まずy=2x+1をx+y=7へ代入してx+(2x+1)=7とします。次に3x+1=7からx=2を求め、最後にy=5を両式へ戻して成り立つか検算します。途中の式と答えの意味を問題文の条件へ戻し、符号・単位・求める形式まで検算します。途中の式と答えの意味を問題文の条件へ戻し、符号・単位・求める形式まで検算します。
答え：(2,5)
⑧ 入試での使われ方
- 掛け算は式全体に分配する
- 答えはxだけでなく(x,y)の組で書く
- ⑤基本：ちびむす/手鏡 ⑥標準：005net例題 ⑦応用：JS88型連鎖＋本アプリ
- JS88数学過去問を50分×週1回
- 005net「入試対策数学総合」で総合力を確認
⑨ よくある誤り
- 一方の式だけを満たす値で終える
- 係数をそろえるとき定数項を掛け忘れる
- 文章題でxとyの単位を決めない
⑩ 確認
次ができたら問題編へ進んでください。
- 二式へ代入して検算できる
- 加減法と代入法を選べる
- 文章の二条件を二式にできる