数学 第6章
空間図形
要点編
【既習／完成／最低25問】体積・表面積・切断の基礎。
① この章のねらい
空間図形は、立体を見たまま計算せず、底面・高さ・側面へ分けて読みます。体積は同じ底面を何層積むか、表面積は展開して外側に出る面だけを数える考えで理解します。
- 直方体・円柱の底面と高さを読む
- 体積を底面積×高さで求める
- 展開図から表面積を漏れなく数える
- 単位をcm・cm²・cm³で区別する
② 図と説明
下の図を順に見てください。各図の下に、その図の読み方を書いてあります。
図 1. 空間図形の見取り
まず底面上の直角三角形を選んで対角線を求めます。次にその対角線と高さが作る直角三角形を読み、空間対角線へ進みます。
まず底面の二枚を見つける
柱体では合同で平行な二つの面が底面です。高さは底面どうしの距離であり、斜めに見える辺の長さではありません。円柱なら円が底面、直方体なら問題で置かれた向きに応じてどの長方形も底面になり得ます。図を回転しても「底面積×高さ」という関係は変わりません。
③ 続きの説明
2. 体積は断面を積み重ねた量
直方体は縦×横で底面積を出してから高さを掛けます。円柱はπr²を底面積にして高さを掛けます。面積の単位にさらに長さを掛けるので答えはcm³になります。途中で底面積と体積を別行にすると、どの数を掛け忘れたか確認できます。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
3. 表面積は隠れた面も展開する
表面積では、見えていない底面や裏面も含め、重なり合う面は含めません。展開図に同じ大きさの面を並べて数えると、直方体の三組の向かい合う面と、円柱の二円＋側面長方形が見えます。底面が接着されている設定なら、その面を足すかを問題文で確認します。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
4. 単位は長さ・面積・体積を混同しない
辺の長さはcm、面の広さはcm²、立体の大きさはcm³です。まず何を求めているかを問題文で固定し、次に使う式が長さの積を何回含むかを数えて単位を決め、最後に答えの単位が設問と一致するか、途中式の各行でも検算します。図や式に戻って、使った条件と答えが矛盾していないかを毎回言葉で確認します。
受験で押さえる（この章）
公式は「唱える」だけでなく、いつ使うか・何を検算するかをセットで固める。比や式は「どの数がどの辺／どの項か」まで対応させる。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
⑤ 公式・用語
| 名称 | 内容 | メモ |
|---|---|---|
| 柱体の体積 | 底面積×高さ | — |
| 円の面積 | πr² | — |
| 円柱の側面積 | 2πr×高さ | — |
用語
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 底面 | 互いに平行で合同な二つの面 |
| 高さ | 二つの底面の距離 |
| 展開図 | 立体の面を平面に開いた図 |
⑥ 手順
表面積を求める
- 外側に出る面へ印を付ける
- 同じ大きさの向かい合う面を組にする
- 各面積を別々に計算する
- 面積だけを足してcm²で答える
⑦ 例題
途中の考え方を追うための例です。演習は問題編で行います。
底面積12cm²、高さ5cmの柱体の体積は。
考え方
12×5。底面積に高さを一度だけ掛ける。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。
答え：60cm³
半径3cm、高さ8cmの円柱の体積は。
考え方
π×3²×8=72π。半径と直径を取り違えない。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。
答え：72πcm³
縦3cm、横4cm、高さ5cmの直方体の表面積は。
考え方
まず向かい合う面を三組に分けて列挙します。次に2(3×4+4×5+5×3)=2(12+20+15)=94と計算します。最後に体積60cm³と取り違えていないか、単位がcm²であることを検算します。途中の式と答えの意味を問題文の条件へ戻し、符号・単位・求める形式まで検算します。
答え：94cm²
⑧ 入試での使われ方
- 立体の底面を色で囲む
- 面積・体積の単位を計算行ごとに書く
- ⑤基本：ちびむす/手鏡 ⑥標準：005net例題 ⑦応用：JS88型連鎖＋本アプリ
- JS88数学過去問を50分×週1回
- 005net「入試対策数学総合」で総合力を確認
⑨ よくある誤り
- 直径を半径としてπr²を使う
- 表面積で底面や裏面を落とす
- 体積の答えをcm²で書く
⑩ 確認
次ができたら問題編へ進んでください。
- 底面と高さを説明できる
- 体積と表面積を区別できる
- 展開図で外側の面を数えられる