問題編

セクション名をタップ＝完了／解き直し。「もう一度解く」で白紙再挑戦。

数学第6章

空間図形

問題編

【既習／完成／最低25問】体積・表面積・切断の基礎。

解く前に：この章の覚え方・戦い方

別冊を開かなくてよい。ここで対応表を指差し確認してから問題に入る。解けたあとも誤答はこの一覧に戻す。

必暗この章の公式（使い方付き）

左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。

覚えの手がかり対応する答え

座標点は(x,y)　／　表→グラフ

戦い方数学の戦い方

詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。

手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢

① 導入

空間図形では直方体・立方体・円柱などの体積と表面積を求めます。体積＝底面積×高さ、表面積は展開図で面を漏れなく足します。

学習のヒント

途中式と符号・単位を残しながら解きましょう。答えだけ書いて終わりにしないでください。

② 基本概念

直方体の体積＝縦×横×高さ。立方体は一辺の3乗。
直方体の表面積＝2(縦×横+横×高+高×縦)。
円柱の体積＝πr²h。側面積＝2πrh。表面積＝2πr²+2πrh。
単位：1辺が cm なら体積は cm³、表面積は cm²。

③ 図解

空間図形の見取り

まず底面上の直角三角形を選んで対角線を求めます。次にその対角線と高さが作る直角三角形を読み、空間対角線へ進みます。

④ 例題

例1

縦3cm、横4cm、高さ5cmの直方体の体積を求めなさい（単位は cm³）。

例2

一辺6cmの立方体の体積を求めなさい（cm³）。

例3

半径3cm、高さ10cmの円柱の体積を π を使って表しなさい（cm³）。

例4

縦2cm、横3cm、高さ4cmの直方体の表面積を求めなさい（cm²）。

⑥ 標準問題

縦4cm、横5cm、高さ6cmの直方体の表面積を求めなさい（cm²）。

半径6cm、高さ4cmの円柱の表面積を π を使って表しなさい（cm²）。

底面積 30 cm²、高さ 8 cm の角柱の体積は何 cm³ か。

一辺 5 cm の立方体を積み重ねて、体積が 1000 cm³ の直方体をつくる。使う立方体は何個か。

円柱の側面積が 48π cm²、高さが 6 cm のとき、底面の半径は何 cm か。

直方体の3辺が 2 cm, 3 cm, x cm で体積が 48 cm³ のとき、x を求めなさい。

⑦ 応用・入試形式

【図】縦3 cm、横4 cm、高さ5 cm の直方体

図の直方体について考える。 (1) 直方体全体の体積を求めなさい。 (2) この容器に深さ2 cmまで水を入れたときの水の体積を求めなさい。 (3) 水をさらに12 cm³入れると、水深は何 cmになるかを求めなさい。

答え（1）体積 cm³：

答え（2）水の体積 cm³：

答え（3）水深 cm：

図の円柱（半径3 cm、高さ10 cm）について考える。 (1) 円柱の体積をπを使って表しなさい。 (2) π=3 としたときの体積を求めなさい。 (3) この体積と等しい、底面積90 cm²の角柱の高さを求めなさい。

答え（1）体積：

答え（2）体積 cm³：

答え（3）高さ cm：

【総合・空間図形】(1)〜(3)

(1) 一辺3cm立方体の体積を求めなさい。

(2) その表面積を求めなさい。

(3) 展開図で辺を対応させる理由を40字で述べなさい。

模範：

⑧ 確認テスト

制限時間の目安: 12分。

縦2・横7・高さ5の直方体の体積

半径3・高さ4の円柱の側面積（πを使う）

一辺3の立方体の表面積

底面積15、高さ9の角柱の体積

正しいものを選びなさい。