数学 第6章
空間図形
解説編
【既習／完成／最低25問】体積・表面積・切断の基礎。
図解で確認（メイン）
まず図を確認し、下の解説で各問の手順と根拠をたどってください。図が1枚あります。
まず底面上の直角三角形を選んで対角線を求めます。次にその対角線と高さが作る直角三角形を読み、空間対角線へ進みます。
答え合わせで確認：語呂・必暗・手順
正解／不正解のあと、知識不足なら下の対応表・必暗をその場で再生する。手順ミスなら戦い方を見直す。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
図で確認
まず底面上の直角三角形を選んで対角線を求めます。次にその対角線と高さが作る直角三角形を読み、空間対角線へ進みます。
① 導入
体積は底面積×高さ。表面積は展開図で各面を足す。円柱は π を残すか近似かを問題文で確認します。
② 基本概念
- 直方体：V=abc、S=2(ab+bc+ca)
- 円柱：V=πr²h、側面積=2πrh、表面積=2πr(r+h)
③ 図の確認
図の寸法を式に写すときは、どの辺が「高さ」かを先に決める。円柱は半径と高さを混同しない。
④ 例題 解説
例1
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 60 です。
途中式を残すと、直方体の体積は縦×横×高さです。3×4×5 を計算します。 ＝ 60 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 60 と矛盾しないことを確認します。
答え：60
例2
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 216 です。
途中式を残すと、立方体の体積は一辺の3乗です。6³ = 216 です。 ＝ 216 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 216 と矛盾しないことを確認します。
答え：216
例3
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 90π です。
途中式を残すと、円柱の体積は πr²h です。π×3²×10 = π×9×10 = 90π です。 ＝ 90π となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 90π と矛盾しないことを確認します。
答え：90π
例4
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 52 です。
途中式を残すと、直方体の表面積は 2(縦×横+横×高+高×縦) です。 ＝ 52 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 52 と矛盾しないことを確認します。
答え：52
⑤ 基本問題 解説
1
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 60 です。
途中式を残すと、直方体の体積は縦×横×高さです。5×6×2 を計算します。 ＝ 60 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 60 と矛盾しないことを確認します。
答え：60
2
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 96 です。
途中式を残すと、立方体の表面積は 6×（一辺）² です。6×4² = 6×16 = 96 です。 ＝ 96 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 96 と矛盾しないことを確認します。
答え：96
3
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 5 です。
途中式を残すと、角柱の体積＝底面積×高さより、高さ＝体積÷底面積です。 ＝ 5 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 5 と矛盾しないことを確認します。
答え：5
4
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 28π です。
途中式を残すと、円柱の体積は πr²h です。π×2²×7 = π×4×7 = 28π です。 ＝ 28π となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 28π と矛盾しないことを確認します。
答え：28π
5
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 60π です。
途中式を残すと、円柱の側面積は 2πrh です。2π×5×6 = 60π です。 ＝ 60π となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 60π と矛盾しないことを確認します。
答え：60π
6
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 72π です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 72π を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 72π と矛盾しないことを確認します。
答え：72π
7
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は b（向かい合う面が3組ある） です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは b（向かい合う面が3組ある） になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え b（向かい合う面が3組ある） と矛盾しないことを確認します。
答え：b（向かい合う面が3組ある）
8
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 158 です。
途中式を残すと、直方体の表面積は 2(縦×横+横×高+高×縦) です。 ＝ 158 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 158 と矛盾しないことを確認します。
答え：158
9
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は c（a³） です。
途中式を残すと、立方体の体積は一辺の3乗です。1³ = 1 です。 ＝ c（a³） となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え c（a³） と矛盾しないことを確認します。
答え：c（a³）
10
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 36 です。
途中式を残すと、円柱の体積は πr²h です。π×3²×4 = π×9×4 = 36 です。 ＝ 36 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 36 と矛盾しないことを確認します。
答え：36
11
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 60 です。
途中式を残すと、直方体の体積は縦×横×高さです。3×4×5 を計算します。 ＝ 60 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 60 と矛盾しないことを確認します。
答え：60
12
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 90π です。
途中式を残すと、円柱の体積は πr²h です。π×3²×10 = π×9×10 = 90π です。 ＝ 90π となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 90π と矛盾しないことを確認します。
答え：90π
13
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 94 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 94 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 94 と矛盾しないことを確認します。
答え：94
14
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 216 です。
途中式を残すと、立方体の体積は一辺の3乗です。6³ = 216 です。 ＝ 216 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 216 と矛盾しないことを確認します。
答え：216
15
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は a（πr²h） です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは a（πr²h） になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え a（πr²h） と矛盾しないことを確認します。
答え：a（πr²h）
⑥ 標準問題 解説
16
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 148 です。
途中式を残すと、直方体の表面積は 2(縦×横+横×高+高×縦) です。 ＝ 148 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 148 と矛盾しないことを確認します。
答え：148
17
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 120π です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 120π を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 120π と矛盾しないことを確認します。
答え：120π
18
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 240 です。
途中式を残すと、角柱の体積＝底面積×高さより、高さ＝体積÷底面積です。 ＝ 240 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 240 と矛盾しないことを確認します。
答え：240
19
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 8 です。
途中式を残すと、立方体の体積は一辺の3乗です。5³ = 125 です。 ＝ 8 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 8 と矛盾しないことを確認します。
答え：8
20
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 4 です。
途中式を残すと、円柱の側面積は 2πrh です。2π×48×6 = 4 です。 ＝ 4 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4 と矛盾しないことを確認します。
答え：4
21
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 8 です。
途中式を残すと、直方体の体積は縦×横×高さです。3×2×3 を計算します。 ＝ 8 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 8 と矛盾しないことを確認します。
答え：8
⑦ 応用・入試形式 解説
22
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は （1）60 （2）24 （3）3 です。
途中式を残すと、直方体の体積は縦×横×高さです。1×2×2 を計算します。 ＝ （1）60 （2）24 （3）3 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え （1）60 （2）24 （3）3 と矛盾しないことを確認します。
答え：（1）60 （2）24 （3）3
23
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は （1）90π （2）270 （3）3 です。
途中式を残すと、円柱の体積は πr²h です。π×3²×10 = π×9×10 = 90π です。 ＝ （1）90π （2）270 （3）3 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え （1）90π （2）270 （3）3 と矛盾しないことを確認します。
答え：（1）90π （2）270 （3）3
40
(1) の結論は 27 です。
答え：27
41
(2) の結論は 54 です。
答え：54
42
(3) の説明です。
答え：同じ辺を張り合わせるので長さが一致するか確認が必要だから。
⑧ 確認テスト 解説
26
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 70 です。
途中式を残すと、直方体の体積は縦×横×高さです。2×7×5 を計算します。 ＝ 70 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 70 と矛盾しないことを確認します。
答え：70
27
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 24π です。
途中式を残すと、円柱の側面積は 2πrh です。2π×3×4 = 24π です。 ＝ 24π となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 24π と矛盾しないことを確認します。
答え：24π
28
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 54 です。
途中式を残すと、立方体の表面積は 6×（一辺）² です。6×3² = 6×9 = 54 です。 ＝ 54 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 54 と矛盾しないことを確認します。
答え：54
29
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は 135 です。
途中式を残すと、角柱の体積＝底面積×高さより、高さ＝体積÷底面積です。 ＝ 135 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 135 と矛盾しないことを確認します。
答え：135
30
座標は表に書き、傾きと切片を読み取る。この問で求める値は a（体積の単位は長さの3乗） です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは a（体積の単位は長さの3乗） になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え a（体積の単位は長さの3乗） と矛盾しないことを確認します。
答え：a（体積の単位は長さの3乗）
⑨ 振り返り
間違えた問題は、どの条件で止まったかを確認し、同じ型をもう一度解いてください。