数学 第4章
比例・反比例
要点編
【既習／完成／最低25問】式・表・グラフの相互変換。
① この章のねらい
比例は y=ax、反比例は y=a/x。表では y/x または xy の一定性で見分け、式・グラフと対応させる。比例のグラフは原点を通る直線、反比例は双曲線。
- 比例と反比例を式で区別する
- 比例定数を表や点から求める
- 具体値を代入して y を求める
- 表の空欄を埋める
- グラフの特徴で判別する
- 速さ・時間など文章を反比例で処理する
② 図と説明
下の図を順に見てください。各図の下に、その図の読み方を書いてあります。
図 1. 比例のグラフ
原点を通るかを最初に見て、格子点からxとyの対応を読みます。各点でy÷xが同じなら比例として直線の傾きを確認します。
比例は商が一定
y=ax（a≠0）。どの対応でも y/x=a。x が k 倍なら y も k 倍。グラフは原点を通る直線。y=ax+b（b≠0）は比例ではない。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
③ 続きの説明
2. 反比例は積が一定
y=a/x（a≠0）または xy=a。x が k 倍なら y は 1/k 倍。グラフは双曲線で原点は通らない。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
3. 比例定数の決め方
比例なら既知の (x,y) から a=y/x。反比例なら a=xy。その a で式を確定し、別の x に代入します。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
4. 表は比または積で埋める
比例の表は各列で y÷x が等しいか確認。反比例の表は各列で x×y が等しいか確認。空欄はその規則で求める。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
5. グラフで見分ける
原点を通る直線→比例。双曲線→反比例。切片がある直線は比例ではない。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
6. 文章題は何が一定か
道のり一定なら速さ×時間＝一定で反比例。単価一定なら代金は個数に比例、など。先に比例か反比例かを宣言します。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
受験で押さえる（この章）
公式は「唱える」だけでなく、いつ使うか・何を検算するかをセットで固める。比や式は「どの数がどの辺／どの項か」まで対応させる。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
⑤ 公式・用語
| 名称 | 内容 | メモ |
|---|---|---|
| 比例 | y = ax（a≠0） | — |
| 反比例 | y = a/x（a≠0）／xy = a | — |
| 判別 | y/x 一定→比例、xy 一定→反比例 | — |
用語
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 比例定数 | 比例の a、または反比例の a（=xy） |
| 双曲線 | 反比例のグラフの形 |
| 原点 | 座標平面で x=0, y=0 の点。比例のグラフはここを通る |
⑥ 手順
比例・反比例の問題手順
- 比例か反比例かを文・表・グラフで判定する
- 比例定数 a を求める
- 式を書く
- 求めたい値を代入する
⑦ 例題
途中の考え方を追うための例です。演習は問題編で行います。
x=3でy=12の比例の式
考え方
a=12/3=4。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。 答えの位置と大きさも図で確認します。
答え：y=4x
x=2でy=6の反比例の式
考え方
a=12。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。 答えの位置と大きさも図で確認します。
答え：y=12/x
y=3x と y=12/x の交点（x>0）
考え方
3x=12/x → x=2。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。 答えの位置と大きさも図で確認します。
答え：(2,6)
時速40kmで3時間の道のりを60km/hで走る時間
考え方
道のり120、反比例。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。 答えの位置と大きさも図で確認します。
答え：2時間
⑧ 入試での使われ方
- まず比例か反比例かを宣言する
- 比例定数の符号を落とさない
- y=ax+b を比例と呼ばない
- 比例は y/x、反比例は xy が一定かで判定。グラフの形（直線／双曲線）とセットで覚える。
- ⑤基本：ちびむす/手鏡 ⑥標準：005net例題 ⑦応用：JS88型連鎖＋本アプリ
- JS88数学過去問を50分×週1回
- 005net「入試対策数学総合」で総合力を確認
⑨ よくある誤り
- 比例と反比例を式だけで混同する
- 反比例なのに原点を通ると答える
- 表で商と積のどちらが一定か見ない
- 切片のある直線を比例とする
⑩ 確認
次ができたら問題編へ進んでください。
- 比例の式を書ける
- 反比例の式を書ける
- 表を埋められる
- グラフで判別できる
- 交点を求められる
- 文章を反比例で処理できる