数学 第3章
一次方程式
要点編
【既習／完成／最低25問】移項・等式の性質・文章題。
① この章のねらい
一次方程式は未知数を含む等式を、等式の性質で変形して解く。移項は符号反転、最後に代入検算。文章題は先に方程式を立ててから解く。
- 等式の性質を説明できる
- 移項で符号を正しく変えられる
- 係数で両辺を割って解を求める
- 括弧や分数を含む方程式を解く
- 解を代入して検算する
- 文章から方程式をつくって解く
② 図と説明
下の図を順に見てください。各図の下に、その図の読み方を書いてあります。
図 1. 一次方程式の天秤
天秤の左右を見比べ、同じ数を両辺へ加減してつり合いを保ちます。移項は反対側へ同じ操作をした結果として符号を確認します。
等式は天秤
左右が等しい状態が等式。両辺に同じ数を足す・引く・掛ける・（0以外で）割っても等式は保たれます。片側だけ操作すると壊れます。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
③ 続きの説明
2. 移項は符号が変わる
項を反対側へ移すとき符号が変わる。これは両辺に同じ数を加減していることと同じ。符号を落とすのが最多ミス。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
3. 係数で割って x を取り出す
ax=b（a≠0）なら両辺を a で割る。負の係数でも同じ。0で割ってはいけない。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
4. 括弧は展開か先に割る
a(x+b)=c は展開してから解くか、両辺を a で割ってから解く。どちらでも検算で一致を確認します。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
5. 解は代入で検算
求めた x を元の式の文字に代入し、左右が等しいか確かめる。検算しない解は未完成。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
6. 文章題は方程式が本体
「〜倍して〜すると」を式に直す。連続する整数は x と x+1。先に方程式、次に計算、最後に問いが求める量を答える。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
受験で押さえる（この章）
公式は「唱える」だけでなく、いつ使うか・何を検算するかをセットで固める。比や式は「どの数がどの辺／どの項か」まで対応させる。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方最初の一手
止まったら分野名より「図・表・式のどれに書き直すか」を決める。
- 方程式求めるものを文字で置き、等式を書く
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
⑤ 公式・用語
| 名称 | 内容 | メモ |
|---|---|---|
| 等式の性質 | 両辺に同じ数を加減乗除（除は0以外） | — |
| 移項 | 項を移すと符号が変わる | — |
| 一次方程式 | ax+b=0（a≠0）の形に直せる方程式 | — |
用語
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 方程式 | 未知数を含む等式 |
| 解 | 方程式を成り立たせる未知数の値 |
| 移項 | 項を等号の反対側へ移す操作 |
| 検算 | 解を代入して左右が等しいか確かめること |
⑥ 手順
一次方程式を解く
- 括弧・分数を整理する
- 未知数の項を一方へ、定数項を他方へ移項する
- 係数で両辺を割る
- 元の式へ代入して検算する
⑦ 例題
途中の考え方を追うための例です。演習は問題編で行います。
x+5=12 を解きなさい。
考え方
両辺から5を引く。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。 答えの位置と大きさも図で確認します。
答え：x=7
3x−7=2x+5 を解きなさい。
考え方
x=5+7。代入で検算。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。 答えの位置と大きさも図で確認します。
答え：x=12
3(2x−1)=2(x+5) を解きなさい。
考え方
6x−3=2x+10 → 4x=13。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。
答え：x=13/4
ある数を3倍して5引くと16。ある数は。
考え方
3x−5=16 → x=7。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。 答えの位置と大きさも図で確認します。
答え：7
⑧ 入試での使われ方
- 移項のたびに符号を確認する
- 割る数が0でないか確認する
- 文章題は先に方程式を書く
- 一次方程式は移項→係数で割る→代入検算の型を固定。文章題は先に方程式を書いてから解く。
- ⑤基本：ちびむす/手鏡 ⑥標準：005net例題 ⑦応用：JS88型連鎖＋本アプリ
- JS88数学過去問を50分×週1回
- 005net「入試対策数学総合」で総合力を確認
⑨ よくある誤り
- 移項で符号を変えない
- 両辺を違う数で操作する
- 検算を省略する
- x/2=5 を x=2.5 と答える
⑩ 確認
次ができたら問題編へ進んでください。
- 等式の性質を言える
- 移項ができる
- 係数で割って解ける
- 括弧付きを解ける
- 代入検算ができる
- 文章から方程式を立てられる