数学 第1章
正負の数・計算の基礎
要点編
【既習／完成／最低25問】数直線・絶対値・四則と符号。中1土台。
① この章のねらい
正負の数は中学数学の計算の共通言語です。数直線で位置と大きさ（絶対値）を分け、減法は加法に直してから符号規則を一つにします。(−a)² と −a² の違いを毎回確認します。
- 数直線上で大小を判断する
- 絶対値を距離として求める
- 加法・減法の符号を処理する
- 乗法・除法の符号を処理する
- (−a)² と −a² を区別する
- 温度や海抜などの文章題を式にする
② 図と説明
下の図を順に見てください。各図の下に、その図の読み方を書いてあります。
図 1. 数直線と絶対値
原点を基準に、点が右か左かを読んで大小を決めます。絶対値は原点からの距離だけを数え、符号を外して読みます。
数直線は右が大きい
正の方向を右にとる数直線では、右にある数ほど大きい。負の数どうしでは、絶対値が小さい方が大きい（−1＞−5）。大小比較は計算より先に数直線へ置くと誤りにくい。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
③ 続きの説明
2. 絶対値は原点からの距離
|a| は a の符号を除いた距離で、負にならない。|−6|=6、|4|=4。絶対値の和 |a|+|b| と、和の絶対値 |a+b| は一般に一致しない。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
3. 減法は符号を変えて加法
a−b = a+(−b)、a−(−b)=a+b。括弧の前のマイナスは中の符号をすべて反転させる、と捉えると漏れが減る。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
4. 乗法・除法の符号
同符号の積・商は正、異符号は負。負の因数の個数が偶数なら正、奇数なら負、と数えてもよい。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
5. 累乗と符号の順序
(−3)²=9（括弧ごと2乗）。−3²=−9（2乗してからマイナス）。表記の違いで答えが変わる典型トラップ。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
6. 文章題は基準を決めてから加減
気温・海抜・残高は、基準（0℃、海面、0円）からのずれを正負で表す。上昇は加法、下降は減法（または負の加法）。 まず図・数直線・式のどこが基準かを指で確認します。次に与えられた数値や印を対応する場所へ書き込み、使う性質を一つずつ言葉にします。最後に途中の値と答えを図や元の式へ戻し、条件・符号・単位に矛盾がないか検算します。
受験で押さえる（この章）
公式は「唱える」だけでなく、いつ使うか・何を検算するかをセットで固める。比や式は「どの数がどの辺／どの項か」まで対応させる。
覚え方符号の決め方
乗除は「同符号は正・異符号は負」。先に符号、あとから絶対値。数直線で位置と距離を分ける。
- 減法引くは足す（符号を変えて加法）
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方最初の一手
止まったら分野名より「図・表・式のどれに書き直すか」を決める。
- 計算小問符号と括弧を先に処理し、途中式を残す
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
⑤ 公式・用語
| 名称 | 内容 | メモ |
|---|---|---|
| 減法の言い換え | a − b = a + (−b) | — |
| 絶対値 | |a| = a の原点からの距離 | — |
| 乗法の符号 | (+)(+)=(−)(−)=+／(+)=(−) は − | — |
用語
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 絶対値 | 原点からの距離。符号を持たない。 |
| 正の数 | 0より大きい数。 |
| 負の数 | 0より小さい数。 |
⑥ 手順
四則の手順
- 括弧内を先に計算する
- 減法は加法に直す
- 乗除の符号を決めてから絶対値を計算する
- 最後に符号を付けて答えを書く
⑦ 例題
途中の考え方を追うための例です。演習は問題編で行います。
(+5)+(−8) を計算しなさい。
考え方
異符号は絶対値の差に、大きい方の符号。8−5=3で負。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。
答え：−3
(−3)−(−7) を計算しなさい。
考え方
−(−7)=+7 より −3+7=4。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。
答え：4
−5² と (−5)² をそれぞれ求めなさい。
考え方
乗累の順序が違う。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。 答えの位置と大きさも図で確認します。
答え：−25 と 25
最低 −4℃、最高 9℃ の気温差は。
考え方
9−(−4)=13。 まず問題文の数値・図の印・求める量を整理し、何を使うかを決めます。次に式の各行で操作の理由を確認しながら計算します。最後に答えを元の式や図へ戻して検算し、符号・単位・求める形式まで合っているか確かめます。 答えの位置と大きさも図で確認します。
答え：13
⑧ 入試での使われ方
- 符号は式の一部として残す
- 絶対値は距離として先に外すか、式全体かを読む
- 負の個数で積の符号を検算する
- 正負の数は数直線と絶対値から。毎日計算10問で符号ミスを潰してから M02 へ。
- ⑤基本：ちびむす/手鏡 ⑥標準：005net例題 ⑦応用：JS88型連鎖＋本アプリ
- JS88数学過去問を50分×週1回
- 005net「入試対策数学総合」で総合力を確認
⑨ よくある誤り
- −(−a) を −a のままにする
- |a+b| と |a|+|b| を同じとみなす
- −a² を (+a)² と同じとみなす
- 負どうしの大小を絶対値の大小で決める
⑩ 確認
次ができたら問題編へ進んでください。
- 数直線で大小を言える
- 絶対値を距離で説明できる
- 減法を加法に直せる
- 乗除の符号を決められる
- (−a)² と −a² を区別できる
- 気温・海抜の文章題を式にできる