数学 第6章
三平方の定理
解説編
三平方の定理と空間図形への応用
① 導入
問題編の解答と要点解説です。途中式・根拠を省略せず確認してください。
② 基本概念
問題編の基本概念を参照。
③ 図解
問題編の図解を参照。
④ 例題 解説
例1 3,4,? の斜辺
斜辺をcとすると c²=3²+4²=9+16=25。c=√25=5。
答え：5
例2 5,12,? の斜辺
c²=5²+12²=25+144=169、c=13。
答え：13
例3 辺 6,8,10 の三角形
答え：a（直角）
⑤ 基本問題 解説
1 直角二等辺で等辺 1 の斜辺
答え：√2
2 30-60-90 で短い方 1 の斜辺
答え：2
3 三平方の逆の使い方
最大辺をcとして確かめる。例：6²+8²=36+64=100=10²。三平方の逆により、10に対する角が直角。
答え：最大辺について a²+b²=c² なら直角三角形と判定する。
4 直方体 2×3×6 の空間対角線
底面の対角線は √(2²+3²)=√13。空間対角線dは d²=(√13)²+6²=13+36=49。
答え：7
5 等辺 2 の直角二等辺の斜辺
答え：2√2
⑥ 標準問題 解説
6 座標上で (0,0),(3,0),(0,4) の距離
2点間の距離は √((3-0)²+(0-4)²)=√(9+16)=√25。
答え：5
7 斜辺 10、一方 6 の他辺
他辺をxとすると 6²+x²=10²。x²=100−36=64、x=8。
答え：8
8 鈍角三角形の判定（最大辺 c）
答え：a（a²+b²<c²）
9 円の半径と弦から垂線を下ろす解法
中心から弦に下ろした垂線は弦を二等分する。半径13、中心から弦まで5なら半弦xは x²+5²=13²、x²=144、x=12。弦は24。
答え：垂線で弦を半分にし、半径を斜辺として三平方を用いる。
⑦ 応用・入試形式 解説
13 直方体3×4×12に入る最長の棒
まず底面（3cm×4cm）の対角線を求める：対角線² = 3²+4² = 9+16 = 25 → 対角線 = 5cm
この5cmの対角線と高さ12cmを2辺とする直角三角形で空間対角線dを求める
d² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 → d = 13cm
最も長い辺（12cm）との比は 13÷12 = 13/12倍
なぜ：空間の対角線は一度で求められないので、「底面の対角線」を求めてから、それを新しい直角三角形の1辺として再利用する（三平方の定理を2回使う）。
14 はしご10m、下端6m→8mでの高さの変化
最初：高さ² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64 → 高さ = 8m
動かした後：高さ² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36 → 高さ = 6m
下がった高さ = 8 − 6 = 2m
なぜ：はしごの長さ（斜辺）は変わらないので、下端の距離が変わるごとに三平方の定理を使い直す。2つの高さを両方計算してから差を取ることを忘れないこと。
15 A(1,1),B(5,4),C(2,8) の3辺の長さ・三角形の種類（三平方の逆）・面積
AB² = (5−1)² + (4−1)² = 16 + 9 = 25 → AB = 5
BC² = (2−5)² + (8−4)² = 9 + 16 = 25 → BC = 5
AC² = (2−1)² + (8−1)² = 1 + 49 = 50 → AC = √50 = 5√2
最も長い辺はAC。AB² + BC² = 25 + 25 = 50 = AC² が成り立つので、三平方の定理の逆により、ACを斜辺とする直角三角形（∠B=90°）である
直角をはさむ2辺はAB=5とBC=5なので、面積 = (1/2)×5×5 = 12.5
なぜ：3辺の長さが分かれば、最大辺の2乗と残り2辺の2乗の和を比べることで、直角三角形かどうかを判定できる（三平方の定理の逆）。等しければ直角、残り2辺の2乗の和の方が大きければ鋭角、小さければ鈍角。直角三角形と分かれば、直角をはさむ2辺を底辺・高さとして面積を求められる。
16 正方形（1辺8）の対角線BDと、AP=6のときのPD
対角線BDは、1辺8cmの直角二等辺三角形（△ABDなど）の斜辺
BD² = 8² + 8² = 128 → BD = √128 = 8√2 cm
PDについて：∠PAD=∠A=90°（正方形の内角）なので、△APDはAP=6、AD=8を2辺とする直角三角形
PD² = AP² + AD² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → PD = 10cm
なぜ：正方形の内角がすべて90°であることを使えば、対角線以外の線分も直角三角形の斜辺として三平方の定理で求められる。
⑧ 確認テスト 解説
確認1 8,15,? 斜辺
c²=8²+15²=64+225=289、c=17。
答え：17
確認2 3-4-5 は
答え：a（直角）
確認3 直角二等辺 等辺 √2 の斜辺
斜辺=√2×√2=2。
答え：2
確認4 空間対角線の公式（直方体）
底面対角線を先に √(a²+b²) とし、高さcと直角三角形をつくる。d²=a²+b²+c²。
答え：√(a²+b²+c²)
確認5 20,21,? 斜辺
答え：29
⑨ 完全解説
間違えた問題は解き直しマークを付け、翌日もう一度解こう。