数学第4章

相似

要点編

相似な図形の性質と証明

ここは参考書パート（要点編）です。市販参考書と同じく「読んで理解 → 例題で流れを追う → チェック」の順で進めてください。理解チェックができたら問題編へ。

① この章のねらい

相似は、形が同じで大きさだけが異なる図形を扱う単元です。対応する角と辺を正しく決めることが、長さ・面積・証明の全ての出発点です。相似比は長さの比、面積比はその二乗であることを区別します。図の向きではなく角の対応で判断します。

相似の意味を説明する
三角形の相似条件を使う
対応順をそろえる
相似比で長さを求める
平行線と相似を結び付ける
面積比を求める
相似を用いて証明する

② 重要ポイント（本文）

1.相似は角と辺の二つの条件

相似な図形では対応する角が全て等しく、対応する辺の比が全て等しいです。見た目が似ていても、この二つを確かめなければ相似とは言えません。記号△ABC∽△DEFは頂点の対応も表します。

2.二組の角で相似を示す

二組の角がそれぞれ等しければ、三角形は相似です。平行線の錯角や同位角、共通角を根拠にすることが多いです。残りの一角を計算する必要はありません。

3.辺とその間の角を使う

二組の辺の比が等しく、その間の角が等しければ相似です。等しい角が二辺の間にあるかを図で確かめます。合同条件と混同して辺の長さを等しいとしません。

4.三組の辺の比をそろえる

三組の対応辺の比が全て等しければ相似です。比は同じ順序で並べ、逆数を混ぜないことが大切です。必要なら最も短い辺どうしから対応を決めます。

5.対応順は角から決める

等しい角の頂点を対応させて、記号の順をそろえます。 △ABC∽△DEFならABはDE、BCはEFに対応します。対応が決まってから比例式を作ります。

6.相似比は一次元の量に使う

相似比m:nなら、対応辺・周の長さ・高さの比もm:nです。一方の辺が分かれば、対応する辺との比例式で未知数を求められます。対応しない辺を比べないよう印を付けます。

7.平行線は小三角形を作る

三角形の一辺に平行な線を引くと、元の三角形と小さい三角形が相似になります。角の等しさは平行線の性質で説明できます。分割された辺の比へつなげます。

8.面積比は相似比の二乗

相似比がm:nなら面積比はm²:n²です。縦も横もm:n倍になるため、面積では倍率が二回掛かります。相似比2:3なら面積比は4:9です。

9.体積比は三乗だが中学では注意

相似な立体では体積比が相似比の三乗になります。平面図形の面積比と混同しないよう、扱う量の次元を意識します。問題で立体を扱うときだけ使います。

10.証明は相似を先に確定する

証明では相似条件を満たす角・辺を順に示してから結論を出します。相似だから対応する辺の比が等しい、という順序を逆にしません。根拠のない図の見た目は使いません。

11.対応を矢印で固定する

相似の計算で最も多い誤りは、対応する辺を途中で入れ替えることです。相似を示した直後にA→D、B→Eのように頂点の対応を図へ矢印で書き、対応辺を同じ色や印で結びます。比例式はこの対応表を見ながら作ると、図が回転していても迷いません。辺の長さだけでなく、向かい合う角や高さの対応も同じ順序で考えます。相似記号の左から右へ頂点に矢印を書く,対応辺を二本ずつ図で結んでから比を書く,比例式の分子・分母の順序を最後まで固定する,図を回転させても対応が変わらないことを確認する

12.相似の証明を比の利用へつなぐ

証明問題では「相似である」ことがゴールではなく、その後に対応する角や辺の比を使うための根拠になります。まず平行線や共通角から相似条件を満たすことを示し、相似であると結論を書きます。その後で初めて、対応辺の比や対応角の等しさを使って求める量へ進みます。この順序を守ると、結論を先取りする論理の飛躍を防げます。仮定から得られる角に根拠を書く,相似条件を一文で明記する,相似記号は対応順をそろえて書く,相似の後に使う性質を「よって」で続ける

13.この章の確認演習

相似の練習では、最初の三十秒を対応決めに使う。等しい角へ同じ印を付け、頂点の対応を矢印で書いてから、相似条件、相似記号、比例式の順で答案を組み立てる。面積比は相似比を二乗する理由を、縦と横の両方が同じ倍率になる図で説明できるようにする。証明問題では、平行線から得る角の根拠を書き、相似確定後に初めて対応辺の比を用いる順序を崩さない。

14.復習の進め方

相似の復習では、一問につき対応を決める時間を省略しない。図を写して頂点へ対応矢印を書き、相似条件、比、面積比の順に問題を解くと、比例式だけを機械的に立てる誤りが減る。証明問題は、根拠となる角を一組ずつ色分けし、相似確定の文を自力で書き直す。面積問題は相似比を二乗する理由を図で説明する。

15.仕上げの確認

仕上げ確認では、頂点の対応順、相似条件、比例式の向き、面積比の二乗を確認する。比の答えは最も簡単な整数比になっているかも点検する。

③ 公式・用語

名称	内容	メモ
相似の記号	`△ABC∽△DEF`	—
対応辺の比	`AB/DE=BC/EF=CA/FD`	—
二角相等	`二組の角がそれぞれ等しい`	—
面積比	`相似比m:n → m²:n²`	—
体積比	`相似比m:n → m³:n³`	—

用語集

用語	意味
相似	形が同じ図形の関係
相似比	対応する長さの比
対応する辺	同じ位置の辺
対応する角	同じ位置の角
二角相等	二組の角が等しい相似条件
平行線	交わらない二直線
面積比	二図形の面積の比
相似な立体	対応する長さの比が等しい立体

④ 解法・読み方の手順

相似を見つける手順

等しい角に印を付ける
対応する頂点を決める
相似条件を選ぶ
記号を対応順に書く
対応辺だけで比例式を作る

面積比問題

二図形が相似か確認する
相似比を最も簡単な比にする
各数を二乗する
求める面積へ比例で戻す

⑤ 図解

△ABC ∽ △DEF
A↔D B↔E C↔F
AB:DE=BC:EF

大 △ABC
 ──DE//BC──
小 △ADE ∽ △ABC

⑥ 例題（読んで流れを追う）

ここは「解く」より「途中式と根拠を追う」ための例です。演習は問題編で。

例題 1基本

問

相似比が3:5の図形で、短い方の対応辺が12cmである。長い方を求めなさい。

考え方・途中式

12:x=3:5。3x=60よりx=20。対応辺どうしで比例式を作る。

答え：20cm

例題 2基本

問

相似比2:3の二つの三角形の面積比を求めなさい。

考え方・途中式

面積比は相似比の二乗。2²:3²=4:9。

答え：4:9

例題 3標準

問

△ABC∽△DEFでAB=6, DE=9, BC=8のときEFを求めなさい。

考え方・途中式

AB:DE=BC:EFより6:9=8:x。6x=72、x=12。

答え：12

例題 4標準

問

△ABCでDE//BC、AD=4, DB=2, AE=6のときACを求めなさい。

考え方・途中式

△ADE∽△ABC。AD:AB=AE:AC、4:6=6:x。4x=36よりx=9。

答え：9

例題 5入試

問

相似比3:4の二つの三角形で、大きい方の面積が64cm²である。小さい方の面積を求めなさい。

考え方・途中式

面積比は9:16。小:大=9:16だから小=64×9/16=36。

答え：36cm²

例題 6入試

問

△ABC∽△DEFで、相似比が2:3、△ABCの面積が24cm²である。△DEFの面積を求めなさい。

考え方・途中式

対応する長さの比は2:3なので、面積比は2²:3²=4:9である。小さい△ABCの24cm²が4に対応する。大きい面積をxとすると24:x=4:9。4x=216よりx=54である。

答え：54cm²

⑦ 入試・テストでの使い方

外部過去問（JS88・リセマム等）の使い分けは過去問・外部資料ガイドを参照。

対応頂点は角から決める
相似の記号の順序をそろえる
比例式は対応辺だけで作る
面積比は必ず二乗する
証明は相似条件を明記する
相似はJS88数学の図形大問→005net「グラフと四角形」→本アプリ⑦。
⑤基本：ちびむす/手鏡　⑥標準：005net例題　⑦応用：JS88＋本アプリ
JS88数学過去問を50分×週1回
005net「入試対策数学総合」で総合力を確認

⑧ よくあるミス

図の向きだけで対応を決める：回転していても対応は変わらない
角一組だけで相似とする：条件が不足
合同と同じ長さとする：相似は比が等しい
比を途中で逆にする：順序を固定する
面積比を相似比と同じにする：二乗が必要
周の長さ比を二乗する：長さは一次元
平行線の根拠を書かない：角の等しさを示せない
相似確定前に比を使う：論理が逆

⑨ 理解チェック

口頭でもノートでもよいので、全部言えたら問題編へ。

相似の定義を言える
二角相等を使える
辺角辺の相似条件を使える
三辺比を使える
対応順をそろえる
比例式を作れる
平行線から相似を見つける
面積比を二乗する
立体では三乗を区別する
相似を用いて証明できる

⑩ 問題編へ

「相似」の要点を押さえたら、次は手を動かして定着させましょう。

問題編を開く →

解いたあとは解説編で途中式を確認し、間違えた問題は白紙で再挑戦。