数学第4章

相似

問題編

相似な図形の性質と証明

① 導入

相似比・面積比・平行線と線分比は証明問題の核です。未習前提で定義から積み上げます。

学習の進め方

導入→概念→例題→基本→標準→応用・入試形式→確認テスト。答えはタップ／入力で自動保存。

② 基本概念

相似：対応する角が等しく、対応する辺の比が等しい
相似比 m:n のとき面積比は m²:n²
AA（2角相等）で相似がいえる
平行線と線分の比（基本の定理）

③ 図解

△ABC ∽ △DEF
    A                 D
   / \               / \
 3/   \ 6         5/   \ 10
 B-----C             E-----F
   4                   20/3
AB:DE = AC:DF = BC:EF = 3:5

④ 例題

例1

相似な図形で必ず等しいものは？

例2

相似比 2:3 の面積比

例3

相似比 1:2、小さい方の辺 5cm の対応辺

⑤ 基本問題

△ABC と △DEF で ∠A=∠D, ∠B=∠E のとき

△ABCでDはAB上、EはAC上、DE∥BC。AD=3cm、DB=6cm、AE=4cmのとき、ECを求めよ。

相似比 3:5、大の周 40cm の小の周

面積比 9:25 の相似比

合同は相似比がいくつ？

⑥ 標準問題

△ABCでAB=10cm、AC=14cm。D、EはそれぞれAB、ACの中点で、DE∥BC。AD、AEの長さを答え、中点連結定理を説明せよ。

相似比 2:5、小の面積 8 の大の面積

立体の相似比 1:2 の体積比

証明：AA 相似の手順の要点

⑦ 応用・入試形式

△ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、DE∥BCである。AD:DB=2:3で、 △ADEの面積が8cm²のとき、四角形DBCEの面積を求めなさい。

答え：

台形ABCD（AD∥BC）の対角線AC、BDの交点をPとする。AD=6cm、BC=10cmのとき、 AP:PCをもっとも簡単な整数の比で求めなさい。

答え：

同じ時刻に、高さ1.5mの棒を地面に垂直に立てると影の長さは2mであった。同じ時刻に、影の長さが12mの塔がある。この塔の高さを求めなさい。さらに、地面にできた影の先端から塔の先端までの距離を求めなさい。

答え（塔の高さ）：

答え（影の先端から塔の先端までの距離）：

AB∥CDで、線分ACと線分BDの交点をPとする。AB=6cm、CD=9cm、AP=4cmのとき、 PCの長さと、△APBと△CPDの面積比を求めなさい。

答え（PC）：

答え（△APB：△CPD）：

⑧ 確認テスト

制限時間：25〜30分　／　各問均等配点

相似比 5:7 の面積比

相似の条件として正しい

相似比 1:3、大の辺 12 の小の辺

平行線と比の定理を一言で

体積比 8:27 の相似比

⑨ 完全解説

解答・解説は解説編を参照してください。