数学第3章

二次関数

問題編

y=ax²のグラフと応用

① 導入

y=ax² のグラフと変化の割合は入試の定番です。頂点・軸・平行移動を完全に理解します。

学習の進め方

導入→概念→例題→基本→標準→応用・入試形式→確認テスト。答えはタップ／入力で自動保存。

② 基本概念

y=ax² は原点を頂点とする放物線。a>0 で下に凸
y=a(x−p)²+q の頂点は (p,q)、軸は x=p
変化の割合 = (yの増加)/(xの増加)
図形との融合（線分・面積）が応用の要点

③ 図解

y=ax²
  ↑  a>0
  │   ＼  ／
  │    ＼／
  └──────→ x

④ 例題

例1

y=2x² のグラフの形は？

例2

y=x² で x=3 のとき y=

例3

y=(x−2)²+3 の頂点の座標（例: (2,3)）

⑤ 基本問題

y=−x² について正しいもの

y=3x² で x が 1 から 3 まで増えたときの変化の割合

y=x² を y 軸方向に +4 平行移動

軸が x=−1、頂点の y が 5、a=1 の式

y=ax² が y=2x² より「開いている」条件

⑥ 標準問題

y=x²−4x+1 を y=a(x−p)²+q の形に

答え：

y=x² 上の点で x=−2 の y

y=x² と y=−x+2 の交点の x 座標

答え：

変化の割合が常に一定なのは

⑦ 応用・入試形式

この章の範囲は y=ax²（および平行移動の基本）です。高校の一般形の軸公式や面積の近似積分は扱いません。

y=ax² のグラフが点 (2,12) を通る。a の値を求め、さらに x の値が 1 から 5 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

答え（a）：

答え（変化の割合）：

関数 y=2x² について、x の変域が −3≦x≦1 のとき、y の変域を求めなさい。また、なぜ「x=−3 と x=1 での y を比べるだけでは不十分」なのか、その理由も説明しなさい。

答え：

噴水の水の高さ h(m) は、水が出てから t 秒後に h = −(1/2)t² + 8t で表されるとする。水の高さが最高になるのは何秒後で、その高さは何mか。また、水が地面に落ちるのは何秒後か。

答え（最高点：何秒後・高さ）：

答え（地面に落ちるのは何秒後）：

y=2x² と y=−x²+12 の2つのグラフの交点の座標をすべて求めなさい。

答え：

関数 y = (1/2)x² のグラフ上に2点 A(−2, 2)、B(4, 8) がある。原点Oと点A、Bを結んでできる△OABの面積を求めなさい。

答え：

⑧ 確認テスト

制限時間：25〜30分　／　各問均等配点

y=(x−3)²+1 の頂点

y=x² で x:0→4 の変化の割合

a>0 の y=ax²

y=x²−6x+10 を完成形に

答え：

y=−2x² で x=2 の y

⑨ 完全解説

解答・解説は解説編を参照してください。