数学 第3章
二次関数
解説編
y=ax²のグラフと応用
① 導入
問題編の解答と要点解説です。途中式・根拠を省略せず確認してください。
② 基本概念
問題編の基本概念を参照。
③ 図解
問題編の図解を参照。
④ 例題 解説
例1 y=2x² のグラフの形は？
答え：a（下に凸）
例2 y=x² で x=3 のとき y=
答え：9
例3 y=(x−2)²+3 の頂点の座標（例: (2,3)）
答え：(2,3)
⑤ 基本問題 解説
1 y=−x² について正しいもの
答え：a（上に凸）
2 y=3x² で x が 1 から 3 まで増えたときの変化の割合
答え：12
3 y=x² を y 軸方向に +4 平行移動
答え：y=x²+4
4 軸が x=−1、頂点の y が 5、a=1 の式
答え：y=(x+1)²+5
5 y=ax² が y=2x² より「開いている」条件
答え：a（|a|<2）
⑥ 標準問題 解説
6 y=x²−4x+1 を y=a(x−p)²+q の形に
答え：y=(x−2)²−3
7 y=x² 上の点で x=−2 の y
答え：4
8 y=x² と y=−x+2 の交点の x 座標
答え：x=-2,1
9 変化の割合が常に一定なのは
答え：a（一次関数）
⑦ 応用・入試形式 解説
13 y=ax² が (2,12) を通るときの a と、x:1→5 の変化の割合
12 = a×2² = 4a より a = 3（y=3x²）
x=1 のとき y=3×1²=3
x=5 のとき y=3×5²=75
変化の割合 = (yの増加量)÷(xの増加量) = (75−3)÷(5−1) = 72÷4 = 18
14 y=2x²、x の変域 −3≦x≦1 のときの y の変域
x=−3 のとき y=2×9=18
x=1 のとき y=2×1=2
変域が x=0 をまたぐことに注意。y=ax²（a>0）は x=0 で最小値0をとる
そのため y の最小値は端点ではなく x=0 のときの 0
y の最大値は端点のうち大きい方、x=−3 のときの 18
答え：0≦y≦18
なぜ：変域が原点をまたぐ場合、両端の y を比べるだけでは頂点（最小値0）を見落とす。放物線は端点よりも頂点で最小（a>0の場合）になることを必ず確認する。
15 噴水 h=−(1/2)t²+8t の最高点と落下時刻
地面に落ちる（h=0）とき：−(1/2)t² + 8t = 0 → t(−(1/2)t + 8) = 0
t=0（出発時）または t=16 → 水が地面に落ちるのは 16秒後
最高点は平方完成で求める：
h = −(1/2)t² + 8t = −(1/2)(t² − 16t) = −(1/2)[(t−8)² − 64] = −(1/2)(t−8)² + 32
頂点は (t,h)=(8,32)なので、最高点は 8秒後に32m
なぜ：h=0の解は因数分解、最高点は平方完成というように、同じ式を2つの見方で使い分けるのが応用問題のコツ。
16 y=2x² と y=−x²+12 の交点
2つのグラフが交わる点では y の値が等しいので 2x² = −x² + 12
3x² = 12 → x² = 4 → x = ±2
x=2 のとき y=2×4=8、x=−2 のとき y=2×4=8
答え：(2, 8), (−2, 8)
17 y=(1/2)x² 上のA(−2,2)、B(4,8)と原点Oでできる△OABの面積
直線ABの傾き = (8−2)÷(4−(−2)) = 6÷6 = 1
点Aを通るので y − 2 = 1×(x−(−2)) → y = x + 4
この直線とy軸の交点はC(0, 4)
△OAB = △OAC + △OBC とみると、どちらもOC=4を底辺とし、高さはA、Bのx座標の絶対値になる
△OAC = (1/2)×4×2 = 4、△OBC = (1/2)×4×4 = 8
△OAB = 4 + 8 = 12
なぜ：原点を含む三角形は、直線とy軸の交点を使ってy軸上に底辺を作ると、2つの三角形に分けて面積を出しやすい。放物線と三角形の融合問題の定番の解き方。
⑧ 確認テスト 解説
確認1 y=(x−3)²+1 の頂点
答え：(3,1)
確認2 y=x² で x:0→4 の変化の割合
答え：4
確認3 a>0 の y=ax²
答え：a（下に凸）
確認4 y=x²−6x+10 を完成形に
答え：y=(x−3)²+1
確認5 y=−2x² で x=2 の y
答え：-8
⑨ 完全解説
間違えた問題は解き直しマークを付け、翌日もう一度解こう。