数学 第2章
平方根・二次方程式
問題編
平方根の計算と二次方程式の解法
① 導入
平方根の計算と二次方程式は、私立入試でも差がつきやすい計算・応用単元です。未習前提でゼロから扱います。
学習の進め方
導入→概念→例題→基本→標準→応用・入試形式→確認テスト。答えはタップ／入力で自動保存。
② 基本概念
- √a は「2乗すると a になる正の数」（a≥0）
- √(a²)=|a|。√の中のかけ算・わり算は分けられる
- 二次方程式 ax²+bx+c=0 の解法：因数分解／平方完成／解の公式
- 解の公式：x = (−b±√(b²−4ac)) / (2a)
③ 図解
√a × √b = √(ab) 二次方程式 → 因数分解 → (x-p)(x-q)=0 → x=p,q
④ 例題
例1
√36 の値は？
例2
√8 を簡単にせよ（例: 2√2）
例3
x²=9 の解（例: ±3）
⑤ 基本問題
1
√12 + √3 を簡単に
2
√18 − √8
3
√a × √a（a>0）は？
4
x² − 5x + 6 = 0 を解け（例: x=2,3）
5
x² = 5 の解（例: ±√5）
⑥ 標準問題
9
x² − 6x + 5 = 0 を平方完成で解け
答え：
10
2x² − 8 = 0 の解
11
解の公式で x² + 2x − 3 = 0
答え：
12
判別式 D=b²−4ac が負のとき
⑦ 応用・入試形式
13
長方形の縦を x cm、横を (x + 3) cm とすると、面積は 54 cm² である。 二次方程式を立てて解き、縦と横の長さをそれぞれ求めなさい（長さは正）。
答え（縦 cm）：
答え（横 cm）：
14
二次方程式 x² − 6x + 4 = 0 の正の解を α とする。α + 4/α の値を求めなさい。 （解の公式で α を出してから代入してもよいが、方程式の関係を使うと速い）
答え：
15
直角三角形があり、直角をはさむ2辺の長さがそれぞれ12cm、5cmである。 斜辺の長さを求め、さらに直角の頂点から斜辺へ引いた垂線の長さを求めなさい。
答え（斜辺）：
答え（垂線の長さ）：
16
x = √5 + 1、y = √5 − 1 のとき、x² + y² の値を求めなさい。
答え：
⑧ 確認テスト
制限時間：25〜30分 ／ 各問均等配点
1
√27 を簡単に
2
x² − 9 = 0 の解
3
x² + 4x − 5 = 0
答え：
4
√2 × √8
5
(√3)²
⑨ 完全解説
解答・解説は解説編を参照してください。