数学 第2章
平方根・二次方程式
解説編
平方根の計算と二次方程式の解法
① 導入
問題編の解答と要点解説です。途中式・根拠を省略せず確認してください。
② 基本概念
問題編の基本概念を参照。
③ 図解
問題編の図解を参照。
④ 例題 解説
例1 √36 の値は？
6²=36 であり、√ は「2乗して36になる正の数」を表す。したがって √36=6。
答え：a（6）
例2 √8 を簡単にせよ（例: 2√2）
8=4×2 として、√8=√(4×2)=√4×√2=2√2。
答え：2√2
例3 x²=9 の解（例: ±3）
x²=9 より、x=3 のときも x=−3 のときも2乗は9。
x=±√9=±3。
答え：x=±3
⑤ 基本問題 解説
1 √12 + √3 を簡単に
√12+√3=√(4×3)+√3=2√3+√3=3√3。
答え：3√3
2 √18 − √8
√18−√8=√(9×2)−√(4×2)=3√2−2√2=√2。
答え：√2
3 √a × √a（a>0）は？
a>0 なので √a は正。√a×√a=(√a)²=a。
答え：a（a）
4 x² − 5x + 6 = 0 を解け（例: x=2,3）
x²−5x+6=(x−2)(x−3)。積が0なので x−2=0 または x−3=0。
答え：x=2,3
5 x² = 5 の解（例: ±√5）
x²=5 の両辺の平方根をとる。ただし方程式の解は正負の両方。
答え：x=±√5
⑥ 標準問題 解説
6 x² − 6x + 5 = 0 を平方完成で解け
x²−6x+5=0
x²−6x=−5
(x−3)²−9=−5
(x−3)²=4
x−3=±2 より 答え：x=1,5
7 2x² − 8 = 0 の解
2x²−8=0 → 2x²=8 → x²=4。
答え：x=±2
8 解の公式で x² + 2x − 3 = 0
a=1,b=2,c=−3 を公式に代入する。
x=(−2±√(2²−4×1×(−3)))/(2×1)=(−2±√16)/2=(−2±4)/2。
答え：x=1,−3
9 判別式 D=b²−4ac が負のとき
D<0 なら √D は実数で表せないため、実数の範囲では解をもたない。
答え：a（実数解なし）
⑦ 応用・入試形式 解説
13 長方形の面積54 → 二次方程式で縦・横
x(x+3) = 54 → x² + 3x − 54 = 0 → (x+9)(x−6) = 0
x = 6 または x = −9。長さは正なので x = 6
縦 6 cm、横 6+3 = 9 cm（検算：6×9=54）
なぜ：この章の⑦は二次方程式の文章題。一次方程式の年齢問題は範囲外なので出さない。
14 α²−6α+4=0 の正の解で α+4/α
α² = 6α − 4。両辺を α（≠0）で割る：α = 6 − 4/α
両辺に 4/α を足す：α + 4/α = 6
（別解：α = 3+√5 を代入してもよいが、式変形の方が速い）
なぜ：根号のまま代入せず、方程式が与える関係式を使うのが入試の定石。
15 直角三角形（2辺12,5）の斜辺と、斜辺への垂線の長さ
三平方の定理：斜辺² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 → 斜辺 = 13
この三角形の面積は、底辺12・高さ5として (1/2)×12×5 = 30
一方、底辺を斜辺13、高さを求める垂線の長さ h とすると 面積 = (1/2)×13×h
同じ面積なので (1/2)×13×h = 30 → h = 60/13
答え（斜辺）：13 答え（垂線の長さ）：60/13 cm
なぜ：1つの三角形の面積を「2通りの底辺・高さの組」で表して等式にするのは、図形の応用問題でよく使う手法。
16 x=√5+1, y=√5−1 のとき x²+y²
x + y = (√5+1) + (√5−1) = 2√5
xy = (√5+1)(√5−1) = 5 − 1 = 4
x² + y² = (x+y)² − 2xy = (2√5)² − 2×4 = 20 − 8 = 12
なぜ：x²+y² を直接展開するより、x+y と xy を先に求めて公式に当てはめる方が速く正確。
⑧ 確認テスト 解説
確認1 √27 を簡単に
27=9×3 より √27=√9×√3=3√3。
答え：3√3
確認2 x² − 9 = 0 の解
x²−9=0 → x²=9。
答え：x=±3
確認3 x² + 4x − 5 = 0
x²+4x−5=(x+5)(x−1)=0。
x+5=0 または x−1=0 より 答え：x=1,−5
確認4 √2 × √8
方針：√16=4
答え：a（4）
確認5 (√3)²
答え：3
⑨ 完全解説
間違えた問題は解き直しマークを付け、翌日もう一度解こう。