数学 第1章
展開・因数分解
問題編
多項式の展開と因数分解の完全マスター
① 導入
展開と因数分解は、関西大学北陽高校の入試で毎年必ず出る単元です。 計算そのものだけでなく、二次方程式・二次関数・図形の面積証明の土台になります。
中学3年の1学期では授業で扱っていない／途中までの学校も多いため、授業を受けていない前提でゼロから説明します。
- 公式を暗記するだけでなく、「なぜそうなるか」を説明できる
- 展開→因数分解の往復が止まらずにできる
- 応用・入試形式の複合問題に対応できる
② 基本概念
展開とは
展開とは、かっこでくくられた式を、かっこのない式に書き直すことです。 分配法則 a(b + c) = ab + ac がすべての出発点です。
「前のかっこの各項 × 後のかっこの各項」をすべて足す。
乗法公式（必ず覚える）
| 名前 | 公式 |
|---|---|
| ① 和の2乗 | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| ② 差の2乗 | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| ③ 和と差 | (a + b)(a − b) = a² − b² |
| ④ 共通因数 | a(b + c) = ab + ac |
| ⑤ たすきがけ型 | (x + p)(x + q) = x² + (p+q)x + pq |
因数分解とは
因数分解は展開の逆です。多項式を、いくつかの多項式の積の形に書き直します。
因数分解の手順（優先順位）
- 共通因数でくくる
- 公式（②③①）に当てはまるか確認
- x² + (p+q)x + pq 型ならたすきがけ
- 複雑なら置換（まとめて1文字とみる）
③ 図解
(a + b)² の面積モデル
┌─────┬─────┐
│ a² │ ab │ ← 一辺 (a+b) の正方形
├─────┼─────┤
│ ab │ b² │
└─────┴─────┘
面積 = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
なぜ 2ab が出るか：長方形 ab が2つあるから。
(a + b)(a − b) のイメージ
a² から b² を引くイメージ
┌──────────┐
│ a² │ − b² = (a+b)(a−b)
└──────────┘
たすきがけの図
x² + 5x + 6 を因数分解
x + 2 ← かけて定数項 6、足して 5
x + 3
─────────
(x+2)(x+3)
④ 例題
次の式を展開しなさい。
(x + 3)(x + 5)
次の式を展開しなさい。
(2a − 3)²
次の式を因数分解しなさい。
x² − 9
次の式を因数分解しなさい。
x² + 7x + 12
次の式を因数分解しなさい。
2x² + 6x
⑤ 基本問題
展開
(x + 2)(x + 4) を展開せよ。
(x − 5)(x + 5) を展開せよ。
(3x + 1)² を展開せよ。
(2x − 3)(x + 4) を展開せよ。
因数分解
3x + 6 を因数分解せよ。
x² − 16 を因数分解せよ。
x² + 5x + 6 を因数分解せよ。
x² − 6x + 9 を因数分解せよ。
⑥ 標準問題
次の式を展開しなさい。
(x + 2y − 3)(x + 2y + 3)
答え：
次の式を展開しなさい。
(a + b)² − (a − b)²
簡単にした結果：
次の式を因数分解しなさい。
x² − 5x − 14
次の式を因数分解しなさい。
4x² − 12x + 9
次の式を因数分解しなさい。
ax + ay + bx + by
答え：
正しいものをすべて選べ。
⑦ 応用・入試形式
次の式を展開し、簡単にしなさい。
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
答え：
連続する3つの正の整数があり、その積が120である。3つの整数の和を求めなさい。
答え：
長方形の縦の長さを (a + b) cm、横の長さを (a − b) cm とする（a > b > 0）。 この長方形の周の長さが32cm、面積が60cm² のとき、a² + b² の値を求めなさい。
答え：
次の式を簡単にしなさい。
(x − 2)² − (x − 2)(x + 3) + (x + 3)²
答え：
⑧ 確認テスト
制限時間：30分 ／ 満点：100点（各20点×5問）
(2x − 5)(3x + 4) を展開せよ。
x² − 8x + 16 を因数分解せよ。
x² − x − 12 を因数分解せよ。
(x + y)² − 4xy を因数分解せよ。
答え：
a − b = 3、ab = 4 のとき、(a + b)² の値を求めよ。
答え：
⑨ 完全解説
問題編の解答・解説は解説編を参照してください。
展開と因数分解は「往復」が命。間違えた問題は翌日もう一度解き直そう。