数学 第1章
展開・因数分解
解説編
多項式の展開と因数分解の完全マスター
① 導入
この解説編では、問題編のすべての問題について途中式を省略せず解説します。
② 基本概念
問題編の基本概念を参照してください。公式は「暗記」だけでなく面積モデルで意味を確認すること。
③ 図解
問題編の図解を参照してください。
④ 例題 解説
例1 (x + 3)(x + 5)
= x·x + x·5 + 3·x + 3·5
= x² + 5x + 3x + 15
= x² + 8x + 15
なぜ：公式 (x+p)(x+q) = x²+(p+q)x+pq で p=3, q=5 → 3+5=8, 3×5=15。
例2 (2a − 3)²
(A − B)² = A² − 2AB + B² で A=2a, B=3
= (2a)² − 2·(2a)·3 + 3²
= 4a² − 12a + 9
答え：4a² − 12a + 9
例3 x² − 9
a² − b² = (a+b)(a−b) で a=x, b=3
答え：(x + 3)(x − 3)
例4 x² + 7x + 12
かけて12、足して7になる2数 → 3と4
答え：(x + 3)(x + 4)
例5 2x² + 6x
共通因数 2x でくくる
= 2x(x + 3)
答え：2x(x + 3)
⑤ 基本問題 解説
1 (x+2)(x+4) = x² + 6x + 8
2 (x−5)(x+5) = x² − 25
3 (3x+1)² = 9x² + 6x + 1
4 (2x−3)(x+4)
= 2x·x + 2x·4 + (−3)·x + (−3)·4 = 2x² + 8x − 3x − 12 = 2x² + 5x − 12
5 3x+6 = 3(x+2)
6 x²−16 = (x+4)(x−4)
7 x²+5x+6 → 2と3 → (x+2)(x+3)
8 x²−6x+9 = (x−3)²
なぜ：a²−2ab+b² = (a−b)²。a=x, b=3。
⑥ 標準問題 解説
9 (x+2y−3)(x+2y+3)
A = x+2y とおくと (A−3)(A+3) = A² − 9
= (x+2y)² − 9（展開すると x²+4xy+4y²−9）
10 (a+b)² − (a−b)²
= (a²+2ab+b²) − (a²−2ab+b²)
= a²+2ab+b² − a² + 2ab − b²
= 4ab
答え：4ab
11 x² − 5x − 14
かけて −14、足して −5 → −7 と +2
答え：(x−7)(x+2)
12 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)²
13 ax+ay+bx+by
= a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)
答え：(a+b)(x+y)
14 正しいもの：a と c
b は誤り（正しくは x²−2xy+y²）。d は 2xy が抜けている。
⑦ 応用・入試形式 解説
15 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
(x+1)(x+4) = x²+5x+4
(x+2)(x+3) = x²+5x+6
u = x²+5x+5 とおくと (u−1)(u+1) = u² − 1
= (x²+5x+5)² − 1
16 連続する3つの正の整数、積が120 → 和は？
真ん中の整数を n とおくと、3つの整数は n−1, n, n+1
積は (n−1)n(n+1) = n(n² − 1) = n³ − n = 120
n³ はおよそ120なので、n は4〜5くらいと見当をつける
n=5 のとき：5³ − 5 = 125 − 5 = 120 ✓
よって3つの整数は 4, 5, 6
和は 4 + 5 + 6 = 15
なぜ：文字を「真ん中」の数に置くと式が n³−n というシンプルな形になる。展開して終わりではなく、条件（正の整数）に合う値を見当づけと代入で探す点が入試レベル。
17 長方形の縦(a+b)cm・横(a−b)cm、周32cm・面積60cm² → a²+b²
周の長さ：2×[(a+b)+(a−b)] = 2×2a = 4a = 32 より a = 8
面積：(a+b)(a−b) = a² − b² = 60 より、8² − b² = 60 → b² = 64 − 60 = 4 → b = 2
よって a² + b² = 64 + 4 = 68
なぜ：面積の条件がそのまま公式③ a²−b²=(a+b)(a−b) の形になっている点に注目する。周の長さから先にaを確定させ、その後面積からbを求める2段階の思考が入試形式のポイント。
18 (x−2)² − (x−2)(x+3) + (x+3)²
u = x−2, v = x+3 とおく。u+v = 2x+1, uv = (x−2)(x+3) = x²+x−6
u² − uv + v² = (u+v)² − 3uv
= (2x+1)² − 3(x²+x−6)
= 4x² + 4x + 1 − 3x² − 3x + 18
= x² + x + 19
⑧ 確認テスト 解説
1 (2x−5)(3x+4) = 6x² + 8x − 15x − 20 = 6x² − 7x − 20
2 x² − 8x + 16 = (x−4)²
3 x² − x − 12 → かけて−12、足して−1 → −4と+3 → (x−4)(x+3)
4 (x+y)² − 4xy
= x² + 2xy + y² − 4xy = x² − 2xy + y² = (x−y)²
5 a−b=3, ab=4 → (a+b)²
(a−b)² = a² − 2ab + b² = 9
(a+b)² = a² + 2ab + b² = (a−b)² + 4ab = 9 + 16 = 25
⑨ 完全解説
以上が第1章の全問題の解説です。公式の暗記だけでなく「なぜ」を毎回確認してください。
確認テストで80%以上取れたら、第2章「平方根・二次方程式」へ進みましょう。