数学 第0章
中1・中2総復習
解説編
夏休み前の土台固め。未習範囲を除いた中1・中2の総復習。
① 導入
この解説編では、問題編のすべての問題について途中式を省略せず解説します。
② 基本概念
問題編の基本概念を参照してください。理解に不安がある場合は、各例題の解説から読み直しましょう。
③ 図解
問題編の図解を参照してください。
④ 例題 解説
例1 (−3) + (+7) − (−2) − (+5)
減法を加法に直す：−(−2) = +2、−(+5) = −5
= (−3) + 7 + 2 − 5
= (−3) + 9 − 5
= 6 − 5
答え：1
なぜ：減法 a − b は a + (−b) と同じ。符号の変化を確実に行うことが重要。
例2 3(2x − 4) − 2(x + 1)
分配法則で展開：3 × 2x − 3 × 4 − 2 × x − 2 × 1
= 6x − 12 − 2x − 2
同類項をまとめる：6x − 2x = 4x、−12 − 2 = −14
答え：4x − 14
例3 3x − 7 = 2x + 5
2x を左辺に移項：3x − 2x − 7 = 5
x − 7 = 5
−7 を右辺に移項：x = 5 + 7
答え：x = 12
なぜ：移項するとき符号が変わる。左辺に文字項、右辺に数項を集める。
例4 y = ax、x = 3, y = 12
12 = a × 3
a = 12 ÷ 3 = 4
答え：y = 4x
例5 三角形の面積
面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2
= 8 × 5 ÷ 2
= 40 ÷ 2
答え：20 cm²
⑤ 基本問題 解説
1 (−4) × (−6) = 24
負 × 負 = 正。4 × 6 = 24
2 (−15) ÷ 3 = −5
負 ÷ 正 = 負
3 −2³ = −8
2³ = 8 で、符号はそのまま。 (−2)³ = −8 とも書けるが、−2³ は −(2³) を意味する。
4 5a − 3a + 2a = 4a
(5 − 3 + 2)a = 4a
5 2(x + 3) + 3(x − 1)
= 2x + 6 + 3x − 3 = 5x + 3
答え：5x + 3
6 2x + 5 = 17
2x = 17 − 5 = 12
x = 6
答え：x = 6
7 正八角形の内角の和
= 180° × (8 − 2) = 180° × 6 = 1080°
8 円の面積
= π × 5² = 3.14 × 25 = 78.5 cm²
⑥ 標準問題 解説
9 −{2 − (−3)²} ÷ (−1)³
(−3)² = 9（負の二乗は正）
2 − 9 = −7
−{−7} = 7
(−1)³ = −1
7 ÷ (−1) = −7
10 a = −2, b = 3
2a² − ab + b² = 2 × (−2)² − (−2) × 3 + 3²
= 2 × 4 − (−6) + 9
= 8 + 6 + 9 = 23
11 年齢の問題
弟の今の年齢を x とする。兄は x + 5。
3年後：兄 = x + 5 + 3 = x + 8、弟 = x + 3
x + 8 = 2(x + 3)
x + 8 = 2x + 6
8 − 6 = 2x − x
x = 2（弟）、兄 = 7歳、弟 = 2歳
検算：3年後 兄10歳、弟5歳。10 = 2 × 5 ✓
12 反比例
(1) y = a/x、6 = a/4 → a = 24 → y = 24/x
(2) x = 8 のとき y = 24/8 = 3
13 長方形から円を切り取った面積
長方形：10 × 6 = 60 cm²
円：3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26 cm²
残り：60 − 28.26 = 31.74 cm²
⑦ 応用・入試形式 解説
14 3の倍数でも5の倍数でもない数
全体：100個
3の倍数：⌊100/3⌋ = 33個
5の倍数：⌊100/5⌋ = 20個
15の倍数（共通）：⌊100/15⌋ = 6個
3または5の倍数：33 + 20 − 6 = 47個
どちらでもない：100 − 47 = 53個
なぜ：集合の要素の数の公式 |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B| を使う。
15 食塩水の問題
20%の食塩水200gの食塩：200 × 0.2 = 40g
5%の食塩水 x g を混ぜる。食塩：0.05x g
合計：(200 + x)g、食塩：(40 + 0.05x)g、濃度12%
40 + 0.05x = 0.12(200 + x)
40 + 0.05x = 24 + 0.12x
16 = 0.07x
x = 16 ÷ 0.07 = 1600/7 ≈ 228.6g（約229g）
検算：40 + 11.4 ≈ 51.4g、(200+228.6) × 0.12 ≈ 51.4g ✓
16 正方形から半円を引く（図形×式）
正方形の面積 = 8² = 64
半円の半径 = 4、面積 = (1/2)π×4² = 8π
残り = 64 − 8π
なぜ：総復習の⑦は「式と図形を1問に混ぜる」。角の一発答えは⑥以下。
17 中央値の階級＋母集団推定（資料×比例）
25人の中央は13番目。累積で10〜20分の階級 → 階級値 15
20〜30分は7/25。200人では 200×7/25 = 56 人
⑧ 確認テスト 解説
1 (−1)²⁰²⁶ − (−1)²⁰²⁵ + (−2)³ × (−3) ÷ 6
(−1)の偶数次乗 = 1、(−1)の奇数次乗 = −1
= 1 − (−1) + (−8) × (−3) ÷ 6
= 1 + 1 + 24 ÷ 6
= 2 + 4 = 6
2 0.2(x − 3) − 0.5(x + 1) = 0.1x − 2
両辺 × 10：2(x − 3) − 5(x + 1) = x − 20
2x − 6 − 5x − 5 = x − 20
−3x − 11 = x − 20
−11 + 20 = x + 3x
9 = 4x → x = 9/4（2.25）
3 道のりと速度
道のり = 60 × 3 = 180 km
時間 = 180 ÷ 45 = 4時間
4 正六角形の面積
1つの正三角形：底辺 6cm、高さ 3√3 cm
面積 = 6 × 3 ÷ 2 = 9√3 cm²（1個）
6個：6 × 9√3 = 54√3 cm²（≈ 93.5 cm²）
5 容器の水
水の体積 = 3 × 4 × 3 = 36 cm³（変わらない）
横向きの底面積 = 4 × 5 = 20 cm²
水面の高さ = 36 ÷ 20 = 1.8 cm
なぜ：水の体積は変わらない。新しい底面積で割れば高さが求まる。
⑨ 完全解説
以上が第0章の全問題の解説です。間違えた問題は章トップの「解き直し」にマークし、1週間後に再度解いてください。
第0章の確認テストで80%以上取れたら、第1章「展開・因数分解」に進みましょう。