数学 第15章
平方根
解説編
【既習／完成／最低25問】根号の計算・有理化。
図解で確認（メイン）
まず図を確認し、下の解説で各問の手順と根拠をたどってください。図が2枚あります。
x²=aの図では、同じ距離だけ正負に二点があることを数直線で読みます。√aは正の点だけを表し、方程式の解では±を付けることを区別します。
根号内を平方数と残りに分け、平方数だけを外へ出します。分母に根号がある分数は分子・分母へ同じ根号を掛け、値を変えずに分母を整数にします。
答え合わせで確認：語呂・必暗・手順
正解／不正解のあと、知識不足なら下の対応表・必暗をその場で再生する。手順ミスなら戦い方を見直す。
必暗この章の公式（使い方付き）
左の公式名に対し、右で式と「いつ使うか・検算」をセットで言う。唱えるだけで終わらせない。
戦い方数学の戦い方
詰まったら3分で退避。白紙より途中式。見直しは符号・単位・問いの取り違え。
- 手順最初の2分で大問数・配点・図の有無を俯瞰し、解けそうな順に印
- 手順計算・小問を先に得点化し、図形・関数の記述は中盤
- 手順詰まったら3分ルールで一時退避。白紙より途中式を残す
- 手順見直し8分：符号・単位・設問の問い直し（何を求めているか）
- 手順毎日15分：学習中の単元の「受験で押さえる」を音読＋書き
- 手順毎日30〜50分：弱点単元の⑤⑥または⑦を1セット
- 手順近い用語・近い年代・近い数値の取り違え
- 手順問題文の一部だけ合っていて結論がずれる選択肢
図で確認
x²=aの図では、同じ距離だけ正負に二点があることを数直線で読みます。√aは正の点だけを表し、方程式の解では±を付けることを区別します。
根号内を平方数と残りに分け、平方数だけを外へ出します。分母に根号がある分数は分子・分母へ同じ根号を掛け、値を変えずに分母を整数にします。
① 導入
√は正だけ。簡単化してから同類根号を加減し、分母の根号は有理化する。各問の手順を確認します。
② 基本概念
- √a は正
- 平方因数を外へ
- 有理化は分子分母に同じ数
③ 図の確認
√9=3 と x=±3 を図で区別する。
④ 例題 解説
例1
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は a（6） です。
与えられた式・条件は √36 の値は？ です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは a（6） になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え a（6） と矛盾しないことを確認します。
答え：a（6）
例2
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 2√2 です。
与えられた式・条件は 2√2 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 2√2 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 2√2 と矛盾しないことを確認します。
答え：2√2
例3
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 5√3 です。
与えられた式・条件は 5√3 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 5√3 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 5√3 と矛盾しないことを確認します。
答え：5√3
例4
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は √2/2 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは √2/2 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え √2/2 と矛盾しないことを確認します。
答え：√2/2
⑤ 基本問題 解説
1
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 3√3 です。
与えられた式・条件は 3√3 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 3√3 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 3√3 と矛盾しないことを確認します。
答え：3√3
2
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は √2 です。
与えられた式・条件は √2 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは √2 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え √2 と矛盾しないことを確認します。
答え：√2
3
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は a（a） です。
与えられた式・条件は √a × √a（a>0）は？ です。
途中式を残すと、√a × √a（a>0）は？ ＝ a（a） となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え a（a） と矛盾しないことを確認します。
答え：a（a）
4
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 3√3 です。
途中式を残すと、√ の中を平方数×残りの積に分けます。例：√12=√(4×3)=2√3 の型です。 ＝ 3√3 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 3√3 と矛盾しないことを確認します。
答え：3√3
5
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 4 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 4 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4 と矛盾しないことを確認します。
答え：4
6
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 3 です。
途中式を残すと、√ の中を平方数×残りの積に分けます。例：√12=√(4×3)=2√3 の型です。 ＝ 3 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 3 と矛盾しないことを確認します。
答え：3
7
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 4√3 です。
途中式を残すと、√ の中を平方数×残りの積に分けます。例：√12=√(4×3)=2√3 の型です。 ＝ 4√3 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4√3 と矛盾しないことを確認します。
答え：4√3
8
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 5√5 です。
与えられた式・条件は 5√5 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 5√5 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 5√5 と矛盾しないことを確認します。
答え：5√5
9
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 2√2 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 2√2 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 2√2 と矛盾しないことを確認します。
答え：2√2
10
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 3/4 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 3/4 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 3/4 と矛盾しないことを確認します。
答え：3/4
11
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は √3 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは √3 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え √3 と矛盾しないことを確認します。
答え：√3
12
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は b（できない） です。
途中式を残すと、√a は（非負の）平方して a になる数です。設問「√2 + √3 をまとめて1つの根号にできるか。」を見ます。 ＝ b（できない） となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え b（できない） と矛盾しないことを確認します。
答え：b（できない）
⑥ 標準問題 解説
13
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 7√2 です。
与えられた式・条件は 7√2 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 7√2 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 7√2 と矛盾しないことを確認します。
答え：7√2
14
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 6 です。
設問の条件を短い式や定義に言い換え、途中の根拠を残して 6 を導きます。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 6 と矛盾しないことを確認します。
答え：6
15
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 6 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 6 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 6 と矛盾しないことを確認します。
答え：6
16
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は √5 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは √5 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え √5 と矛盾しないことを確認します。
答え：√5
17
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は √2/4 です。
与えられた式・条件は √2/4 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは √2/4 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え √2/4 と矛盾しないことを確認します。
答え：√2/4
18
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は b（誤り） です。
途中式を残すと、√a は（非負の）平方して a になる数です。設問「√a + √b = √(a+b) は一般に正しいか。」を見ます。 ＝ b（誤り） となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え b（誤り） と矛盾しないことを確認します。
答え：b（誤り）
19
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 4√5 です。
与えられた式・条件は 4√5 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 4√5 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4√5 と矛盾しないことを確認します。
答え：4√5
⑦ 応用・入試形式 解説
20
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は （1）x=±√12 （2）2√3 （3）4√3 です。
途中式を残すと、√ の中を平方数×残りの積に分けます。例：√12=√(4×3)=2√3 の型です。 ＝ （1）x=±√12 （2）2√3 （3）4√3 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え （1）x=±√12 （2）2√3 （3）4√3 と矛盾しないことを確認します。
答え：（1）x=±√12 （2）2√3 （3）4√3
21
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は （1）√18 （2）3√2 （3）18 です。
途中式を残すと、√ の中を平方数×残りの積に分けます。例：√12=√(4×3)=2√3 の型です。 ＝ （1）√18 （2）3√2 （3）18 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え （1）√18 （2）3√2 （3）18 と矛盾しないことを確認します。
答え：（1）√18 （2）3√2 （3）18
40
(1) の結論は 6 です。
答え：6
41
(2) の結論は 2√3 です。
答え：2√3
42
(3) の説明です。
答え：係数と根号を分けて比較・計算しやすくするため。
⑧ 確認テスト 解説
25
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 4√2 です。
途中式を残すと、√ の中を平方数×残りの積に分けます。例：√12=√(4×3)=2√3 の型です。 ＝ 4√2 となります。演算の順序と符号を毎行確認します。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 4√2 と矛盾しないことを確認します。
答え：4√2
26
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は √5 です。
与えられた式・条件は √5 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは √5 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え √5 と矛盾しないことを確認します。
答え：√5
27
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は √6/3 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは √6/3 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え √6/3 と矛盾しないことを確認します。
答え：√6/3
28
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 14 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 14 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 14 と矛盾しないことを確認します。
答え：14
29
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は c（±4） です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは c（±4） になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え c（±4） と矛盾しないことを確認します。
答え：c（±4）
30
二次方程式は因数分解か解の公式で解く。この問で求める値は 6 です。
条件を式や定義に対応づけて整理すると、答えは 6 になります。
最後に代入・逆演算・定義のどれかで検算し、答え 6 と矛盾しないことを確認します。
答え：6
⑨ 振り返り
間違えた問題は、どの条件で止まったかを確認し、同じ型をもう一度解いてください。