数学 第8章
実戦演習
解説編
入試形式の総合演習
① 導入
問題編の解答と要点解説です。途中式・根拠を省略せず確認してください。
② 基本概念
問題編の基本概念を参照。
③ 図解
問題編の図解を参照。
④ 例題 解説
例1 x²−5x+6=0 の解と、それを利用した面積問題の方針
x²−5x+6=0 は (x−2)(x−3)=0。x=2,3。面積の辺の長さとしては問題文の条件に合う正の値を選ぶ。
答え：x=2,3
例2 (x+2)(x−5) の展開
答え：x²−3x−10
例3 相似比2:3の体積比
答え：a（8:27）
⑤ 基本問題 解説
1 √12+√3
√12=2√3 より 2√3+√3=3√3。
答え：3√3
2 y=x² と y=4 の交点
交点ではx²=4。x²−4=0、(x−2)(x+2)=0。
答え：x=±2、交点は(2,4)、(−2,4)
3 3-4-5 の斜辺
答え：5
4 円周角が中心角の
答え：a（半分）
5 標本50中10。母1000の推定
答え：200
⑥ 標準問題 解説
6 因数分解 x²+5x+6
答え：(x+2)(x+3)
7 変化の割合 y=x²（1→3）
変化の割合=(3²-1²)/(3-1)=(9-1)/2=4。
答え：4
8 接線長・三平方の典型
OT⊥PTなので △OPT は直角三角形。PT²=OP²−OT²=17²−8²=289−64=225。
答え：PT=15cm
9 解の公式 x²−x−1=0 の正の解は？
答え：(1+√5)/2
⑦ 応用・入試形式 解説
13 放物線上の2点→直線→△OACの面積（関数×座標）
傾き = (9−1)/(3−1) = 4。点Aを通るから y−1 = 4(x−1) → y = 4x − 3
x軸との交点：0 = 4x − 3 → x = 3/4 → C(3/4, 0)
△OAC（O(0,0), A(1,1), C(3/4,0)）の面積 = (1/2)|1·0 − 1·(3/4)| = 3/8
なぜ：入試の関数大問は「式→交点→面積」の連鎖。途中の座標を丁寧に書く。
14 弦と中心の距離＋△OABの面積（円×三平方）
弦の中点を M とすると OM ⊥ AB、AM = 4。直角三角形 OMA で OM = √(5²−4²) = √9 = 3
△OAB の面積 = (1/2)×AB×OM = (1/2)×8×3 = 12
15 DE∥BC、相似比と面積比
AD:DB = 1:2 より AD:AB = 1:3。AD = 3 なので AB = 9
△ADE ∽ △ABC、相似比 1:3 → 面積比 = 1²:3² = 1:9
16 校庭の対角線＋標本推定（三平方×標本）
対角線 = √(40²+60²) = √(1600+3600) = √5200 = √(400×13) = 20√13
相対度数 = 8/50 = 0.16。推定 = 200×0.16 = 32 区画
なぜ：実戦は「図形で求めたあと、別技能の推定が続く」ことが多い。場面は1つでも技能は混ぜる。
⑧ 確認テスト 解説
確認1 x²−4=0
答え：x=±2
確認2 相似比1:2面積比
答え：1:4
確認3 y=(x−1)²+2 の頂点
答え：(1,2)
確認4 5,12,13は直角？(はい/いいえ)
答え：はい
確認5 中心角70の円周角
答え：35
⑨ 完全解説
間違えた問題は解き直しマークを付け、翌日もう一度解こう。